해석·미적분formulaintermediate
거듭제곱의 미분
“거듭제곱 미분은 '내리고 하나 줄이기'.”
수식
d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹읽는 법: xⁿ을 미분하면, 지수 n을 앞으로 내리고 지수를 하나 줄인다
- n
- — 거듭제곱의 지수
- d/dx
- — x에 대해 미분한다는 기호
- xⁿ⁻¹
- — 지수를 1 줄인 거듭제곱
이야기의 시작
극한 정의를 매번 돌릴 필요 없다 — 거듭제곱은 '내리고 줄이기' 한 방이면 끝난다.
쉬운 말로
xⁿ의 기울기 함수는, 지수 n을 계수로 앞에 곱하고 지수를 n−1로 낮춘 것이다.
직관
지수가 클수록 곡선이 가파르게 솟는다. 미분은 그 '솟는 정도(n)'를 앞으로 끄집어내고, 차수를 한 칸 낮춰 기울기의 모양을 만든다.
어떻게 만들어지나
두 조작이 전부다 — ① 지수를 앞으로 내려 곱하고 ② 지수에서 1을 뺀다. 이 규칙은 극한 정의를 x³, x⁴…에 직접 돌려 얻은 패턴을 압축한 것.
예시
x⁵을 미분하면 지수 5를 앞으로, 지수는 4로 → 5x⁴. x=1을 넣으면 기울기 5.
흔한 오해
지수에서 1 빼는 걸 빼먹기 쉽다. 또 상수의 미분은 0이다 — 상수는 x⁰이고 n=0이라 앞의 계수가 0이 되기 때문.
어디에 쓰나
다항함수의 미분은 사실상 전부 이 규칙 + 항별로 따로. 물리·경제의 대부분 모델이 다항식이라 매일 쓴다.
어디서 왔나
뉴턴이 이항정리를 (1+h)ⁿ 전개에 써서 이 패턴을 뽑아냈고, 훗날 유리수·실수 지수로도 성립함이 밝혀졌다.
선행 개념
확인 문제
x⁶ 을 미분하면?
- 6x⁵✓
- 6x⁷
- x⁵
- 5x⁶
연습
f(x)=x⁴ 의 x=2 에서 미분값은?
정답: 32
풀이:
- f'(x)=4x³
- x=2 대입 → 4·8 = 32
핵심: 내리고 줄인 뒤 대입 한 번.
f(x)=x²+x³ 의 x=1 에서 미분값은? (항별로 따로)
정답: 5
풀이:
- f'(x)=2x+3x²
- x=1 대입 → 2 + 3 = 5
핵심: 합의 미분은 각 항을 따로 미분해 더한다.
f(x)=5x² 를 미분해 x=3 을 대입하라.
정답: 30
풀이:
- 상수 5는 그대로 곱해진 채: f'(x)=5·2x=10x
- x=3 대입 → 30
핵심: 상수 계수는 미분에서 그대로 살아남는다.