편미분 — 한 방향만의 기울기
“편미분은 '다른 건 다 고정하고, 이 한 방향만 얼마나 가파른가'다.”
수식
z = f(x, y) → ∂f/∂x, ∂f/∂y읽는 법: 변수가 여럿인 함수에서, 다른 변수는 고정하고 x 하나만 아주 조금 움직였을 때의 순간 기울기
- ∂
- — 편미분 기호 — '이 방향으로만 미분한다'는 표시
- ∂f/∂x
- — x에 대한 편미분 — y를 상수로 두고 x로만 미분한 기울기
- y
- — 이번엔 상수로 취급되는 다른 변수
이야기의 시작
산비탈 위에 서 있다. '동쪽으로 가면 얼마나 가파른가'와 '북쪽으로 가면 얼마나 가파른가'는 서로 다른 값이다 — 편미분은 딱 한 방향만의 기울기다.
쉬운 말로
변수가 둘 이상인 함수에서, 관심 있는 변수 하나만 남기고 나머지는 잠시 상수로 얼려 버린 뒤, 평범한 미분을 한 것이다.
직관
울퉁불퉁한 지형 f(x,y)를 생각하자. ∂f/∂x는 '동서 방향으로만' 한 걸음 뗐을 때의 경사, ∂f/∂y는 '남북 방향으로만' 뗐을 때의 경사다. 한 점에서도 방향마다 기울기가 다르니, 방향별로 따로 재는 것이다.
어떻게 만들어지나
공식은 보통 미분과 똑같다. 단 하나의 규칙만 추가된다 — '지금 미분하는 변수 말고는 전부 숫자(상수)로 본다.' 그래서 ∂/∂x 할 때 y는 그냥 상수 3처럼 다룬다.
예시
f(x,y)=x²y 라 하자. x로 편미분하면 y를 상수로 보고 ∂f/∂x = 2xy. y로 편미분하면 x²을 상수로 보고 ∂f/∂y = x². 점 (2,3)에서 ∂f/∂x = 2·2·3 = 12, ∂f/∂y = 2² = 4.
흔한 오해
∂f/∂x를 구할 때 y도 같이 움직인다고 착각하기 쉽다. 아니다 — 편미분에서 y는 그 순간 완전히 얼어붙은 상수다. y가 함께 변하는 경우는 '전미분'이라는 다른 도구가 맡는다.
어디에 쓰나
기계학습의 경사하강법(수많은 가중치 각각에 대한 편미분=그래디언트), 열·유체의 편미분방정식, 경제학의 한계효용, 물리의 장(field) 계산까지 — 변수가 여럿인 세상은 전부 편미분으로 돌아간다.
어디서 왔나
18세기 오일러·달랑베르가 진동하는 현과 열의 흐름을 다루며 '한 변수만 미분하는' 도구를 다듬었다. ∂ 기호는 라운드 d로, 곡선체 d와 구분하려고 도입됐다.
선행 개념
확인 문제
f(x,y)=x²y 를 y에 대해 편미분하면?
- 2xy
- x²✓
- 2x
- y
연습
f(x,y)=x²+y² 에서 점 (3,5) 의 ∂f/∂x 를 구하라.
정답: 6
- y를 상수로 보고 x로 미분: ∂f/∂x = 2x
- x=3 대입 → 2·3 = 6
핵심: 편미분은 관심 변수 빼고 다 상수 — 그다음은 그냥 미분.
f(x,y)=x²y 에서 점 (2,3) 의 ∂f/∂x 를 구하라.
정답: 12
- y를 상수로 보고 x로 미분: ∂f/∂x = 2xy
- (2,3) 대입 → 2·2·3 = 12
핵심: x로 미분할 땐 y는 붙어 있는 숫자처럼 남는다.
f(x,y)=3x+4y 에서 ∂f/∂y 를 구하라.
정답: 4
- x를 상수로 보면 3x는 미분 시 0
- 4y를 y로 미분 → 4
핵심: 관심 없는 변수의 항은 상수라서 미분하면 사라진다.
왜 ∂f/∂x 를 구할 때 y 를 상수처럼 다뤄도 되는지 노트에 설명해 보라.
정답: undefined
- 편미분의 정의: f(x+h,y)−f(x,y) 에서 y는 두 항에서 똑같이 고정돼 있다
- 즉 h로 움직이는 것은 오직 x뿐 → y의 값은 변하지 않으므로 상수로 취급된다
- 기하로는 '동서 방향 단면'을 잘라 그 단면의 기울기를 재는 것
핵심: '한 방향 단면의 기울기'라는 정의가 곧 '나머지 변수 고정'을 뜻한다.