미적분의 기본정리
“미분과 적분은 서로를 되돌리는 한 쌍이다.”
수식
d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x)읽는 법: 넓이를 쌓아온 함수를 미분하면 원래 함수로 돌아온다 — 적분과 미분은 서로 역연산
- ∫ₐˣ f(t) dt
- — a부터 x까지 쌓인 넓이(누적 함수)
- d/dx
- — 그 넓이 함수를 미분
- f(x)
- — 다시 원래 함수로 돌아옴
이야기의 시작
따로 발전한 두 아이디어 — 자르기(미분)와 쌓기(적분) — 가 사실은 서로를 되돌리는 한 쌍이라는 게 미적분의 대발견이다.
쉬운 말로
a부터 x까지 넓이를 쌓은 함수를 미분하면, 원래 함수 f(x)가 그대로 튀어나온다. 미분과 적분은 서로의 역이다.
직관
양동이에 물을 붓는다고 하자. 지금까지 담긴 물의 양(적분·누적)을 시간으로 미분하면, 지금 이 순간 붓는 속도(원래 함수)가 나온다. 쌓인 총량의 변화율 = 지금의 값.
어떻게 만들어지나
두 부분으로 이뤄진다 — ① 넓이 누적 함수를 미분하면 f로 돌아온다 ② 그래서 정적분을 F(b)−F(a)로 계산할 수 있다. 미분이 준 원시함수가 적분을 풀어준다.
예시
F(x)=∫₀ˣ t dt 는 밑변 x·높이 x인 삼각형 넓이라 x²/2. 이걸 미분하면 d/dx(x²/2)=x 로, 원래 f(t)=t로 정확히 되돌아온다.
흔한 오해
미분과 적분이 '무관한 두 계산'이라는 오해가 흔하다. 사실은 덧셈과 뺄셈처럼 서로를 상쇄하는 역연산이다.
어디에 쓰나
이 정리 덕분에 넓이를 무한히 더하지 않고, 원시함수 하나만 찾으면 정적분이 풀린다 — 미적분 실전 계산의 심장.
어디서 왔나
개별 결과는 배로·뉴턴의 스승 등이 앞서 알았지만, 미분과 적분을 하나의 정리로 묶은 것은 뉴턴과 라이프니츠였다.
선행 개념
확인 문제
미적분의 기본정리가 하나로 잇는 두 연산은?
- 덧셈과 곱셈
- 미분과 적분✓
- 극한과 연속
- 곱과 나눗셈
연습
g(x)=∫₀ˣ t² dt 일 때, 기본정리로 g'(3)을 구하라.
정답: 9
- 기본정리: g'(x)=x²
- x=3 대입 → 9
핵심: 누적 함수를 미분하면 안에 있던 함수가 그대로 나온다.
∫₀⁴ 2t dt 를 기본정리로 계산하라.
정답: 16
- 원시함수: t²
- [t²]₀⁴ = 16 − 0 = 16
핵심: 원시함수만 찾으면 넓이가 뺄셈 한 번으로 나온다.
d/dx ∫₁ˣ (t³+1) dt 는? 왜 그런지 한 줄로 적어보라.
정답: undefined
- 기본정리에 의해 = x³+1
- 넓이를 쌓아온 함수를 미분하면 지금 붓고 있는 함수값이 나오기 때문
핵심: 아래끝(1)은 미분값에 영향이 없다 — 위끝 x만 중요.