해석·미적분conceptintermediate

적분 — 넓이로 쌓기

“적분은 '잘게 쪼개 다 더한 것'이다.”

수식

∫ₐᵇ f(x) dx = lim Σ f(xᵢ)·Δx

읽는 법: 구간을 잘게 쪼갠 직사각형들의 넓이를 다 더하고, 폭을 0으로 보낸 극한 = 곡선 아래 넓이

Δx: — 잘게 쪼갠 직사각형의 폭
f(xᵢ): — 각 직사각형의 높이
Σ ... lim: — 다 더한 뒤 폭을 0으로 보낸 극한
∫: — '쌓아 더한다'는 뜻의 늘어난 S

이야기의 시작

적분 기호 ∫는 무섭게 생겼지만, 뜻은 하나 — '잘게 쪼개서 다 더하라'.

쉬운 말로

곡선 아래 넓이를, 폭이 아주 좁은 직사각형 여러 개로 채우고 그 넓이를 모두 더한 것. 폭을 0으로 보내면 정확한 넓이가 된다.

직관

울퉁불퉁한 지붕 아래 공간을 얇은 벽돌로 채운다고 생각하라. 벽돌이 두꺼우면 어림값, 무한히 얇게 만들수록 실제 넓이에 딱 맞는다. ∫는 그 '무한히 얇은 합'이다.

어떻게 만들어지나

각 조각의 넓이 = 높이 f(xᵢ) × 폭 Δx. 이걸 다 더한 게 리만 합 Σf(xᵢ)Δx. 폭 Δx를 0으로 보내는 극한이 적분이다.

예시

y=x 아래, x=0부터 2까지의 넓이는 밑변 2·높이 2인 삼각형이라 ½·2·2 = 2. 적분으로 쌓아도 같은 2가 나온다.

흔한 오해

적분은 '거꾸로 미분'만이 아니다. 그 계산법이 편리할 뿐, 본질은 '잘게 쪼갠 넓이의 합'이다.

어디에 쓰나

넓이·부피·이동거리·누적 확률·일(에너지) — '조금씩 쌓인 총량'을 구하는 모든 곳에 쓰인다.

어디서 왔나

아르키메데스가 이미 곡선 아래를 잘게 쪼개 넓이를 구했다(소진법). 2000년 뒤 뉴턴·라이프니츠가 이걸 미분과 이어 붙였다.

선행 개념

극한

확인 문제

적분 기호 ∫ 가 뜻하는 것은?

곱한다
잘게 쪼개 다 더한다✓
미분한다
나눈다

연습

y=x 아래, x=0부터 4까지의 넓이(삼각형)는?

정답: 8

풀이:

밑변 4, 높이 4인 직각삼각형
½·4·4 = 8

핵심: 직선 아래 넓이는 도형 공식으로도 검산된다.

y=3 (상수) 아래, x=0부터 5까지의 넓이(직사각형)는?

정답: 15

풀이:

높이 3, 폭 5인 직사각형
3·5 = 15

핵심: 상수함수의 적분은 그냥 직사각형 넓이.

y=x 아래 0~2를, 폭 1짜리 직사각형 2개(오른쪽 끝 높이)로 근사하면? 실제 넓이 2와 비교하라.

정답: undefined

풀이:

오른쪽 끝 높이: x=1에서 1, x=2에서 2
넓이 합 = 1·1 + 1·2 = 3
실제 넓이 2보다 큼 — 조각이 두꺼워 과대추정

핵심: 조각이 두꺼우면 어림값, 얇을수록 참값에 다가간다.