연속
“연속은 '극한값 = 함숫값', 그거 하나다.”
수식
lim(x→a) f(x) = f(a)읽는 법: x=a에서의 극한값이 그 점의 함수값과 같다 — 그러면 그 점에서 연속이다
- f(a)
- — 그 점에서 실제 함수값
- lim(x→a) f(x)
- — 그 점으로 다가갈 때의 극한값
- =
- — 둘이 같으면 a에서 연속
이야기의 시작
연속은 '연필을 떼지 않고 그릴 수 있는가'를 수식 한 줄로 못 박은 것이다.
쉬운 말로
다가가서 예상한 값(극한)과 실제로 그 점에 찍힌 값(함숫값)이 딱 일치하면, 그 점에서 끊김 없이 이어진다.
직관
구멍(빠진 점)도, 점프(계단)도, 치솟음(수직선)도 없어야 한다. 그래프를 손끝으로 따라갈 때 손을 떼지 않아도 되면 연속이다.
어떻게 만들어지나
세 가지가 동시에 성립해야 한다 — ① f(a)가 정의되고 ② 극한이 존재하고 ③ 그 둘이 같다. 하나만 어긋나도 그 점에서 끊긴다.
예시
f(x)=x²+1 을 x=1에서 보면: 극한 lim(x→1)=2, 함숫값 f(1)=2. 둘이 같으니 x=1에서 연속이다.
흔한 오해
연속이라고 반드시 미분 가능한 건 아니다. |x|는 x=0에서 이어져 있지만(연속) 뾰족해서 기울기를 정할 수 없다(미분 불가).
어디에 쓰나
중간값 정리·최댓값 정리처럼 '반드시 어딘가 존재한다'는 강력한 보장이 전부 연속 위에서만 작동한다.
어디서 왔나
'끊김 없음'을 직관에 맡기던 것을 19세기 코시가 극한으로 정의하면서, 연속은 그림이 아니라 부등식으로 다룰 수 있게 됐다.
선행 개념
확인 문제
함수가 x=a에서 연속이기 위한 조건은?
- 극한값과 함숫값이 같아야 한다✓
- 함숫값이 0이어야 한다
- 기울기가 0이어야 한다
- x=a에서 미분 가능해야 한다
연습
f(x)=2x+1 은 x=3에서 연속인가? 극한과 f(3)을 각각 구해 비교하라.
정답: undefined
- 극한: lim(x→3)(2x+1) = 7
- 함숫값: f(3) = 2·3+1 = 7
- 둘이 같으므로 x=3에서 연속
핵심: 다항함수는 어디서나 연속 — 극한이 곧 대입값.
f(x)=x²−x 는 연속이므로 lim(x→2) f(x) = f(2). 그 값은?
정답: 2
- 연속이므로 그냥 대입
- f(2) = 4 − 2 = 2
핵심: 연속인 함수의 극한은 대입 한 번으로 끝난다.
다음 중 '연속이 아닌' 경우는?
정답: 0
- 1/x는 x=0에서 정의되지 않고 값이 ±∞로 치솟는다
- 나머지는 그 점에서 끊김 없이 이어진다
핵심: 정의 안 됨·점프·치솟음 → 그 점에서 불연속.