볼록·오목과 이계도함수
“이계도함수의 부호 = 곡선이 휘는 방향.”
수식
f''(x) > 0 ⇒ ∪ , f''(x) < 0 ⇒ ∩읽는 법: 이계도함수가 양수면 아래로 볼록(∪), 음수면 위로 볼록(∩)
- f''(x)
- — 미분을 한 번 더 한 것(이계도함수)
- ∪
- — 아래로 볼록(컵 모양)
- ∩
- — 위로 볼록(모자 모양)
이야기의 시작
미분을 한 번 더 하면, 곡선이 어느 쪽으로 '휘어 있는지'가 보인다.
쉬운 말로
이계도함수 f''는 기울기의 변화율이다. 그 부호가 곡선이 컵(∪)처럼 휘는지 모자(∩)처럼 휘는지를 알려준다.
직관
기울기 자체가 커지고 있으면(f''>0) 곡선은 점점 위로 휘어 올라가 컵 모양(∪)이 된다. 기울기가 줄고 있으면(f''<0) 모자 모양(∩)이다. f''은 '기울기의 기울기'다.
어떻게 만들어지나
한 번 미분하면 기울기(f'), 또 미분하면 그 기울기가 어떻게 변하는지(f''). 부호가 +이면 아래로 볼록, −이면 위로 볼록, 부호가 바뀌는 곳이 변곡점이다.
예시
f(x)=x³ 이면 f''(x)=6x. x=1에서 f''=6>0 이라 아래로 볼록, x=−1에서 f''=−6<0 이라 위로 볼록. x=0에서 부호가 바뀌니 그곳이 변곡점.
흔한 오해
'아래로 볼록(∪)'을 '오목'이라 부르는 혼동이 흔하다. 또 f''=0 이라고 반드시 변곡점은 아니다 — 부호가 실제로 바뀌어야 한다.
어디에 쓰나
극값이 최대인지 최소인지 판정(이계도판정), 그래프의 정확한 모양, 경제의 한계효용 체감 등에 쓰인다.
어디서 왔나
곡률(굽은 정도)의 아이디어는 뉴턴·라이프니츠 시대부터 있었고, 이계도함수는 그 곡률의 부호를 간단히 읽는 도구가 됐다.
선행 개념
확인 문제
f(x)=x² 의 이계도함수 f''(x)는?
- 2x
- 2✓
- 0
- x²
연습
f(x)=x³ 에서 f''(2) 의 값은?
정답: 12
- f'(x)=3x²
- f''(x)=6x
- x=2 대입 → 12
핵심: 미분을 두 번 하면 이계도함수.
f(x)=x⁴ 에서 f''(1) 의 값은?
정답: 12
- f'(x)=4x³
- f''(x)=12x²
- x=1 대입 → 12
핵심: f''>0 이니 x=1 근처에서 아래로 볼록.
f(x)=x³−3x² 의 변곡점의 x를 구하라.
정답: undefined
- f'(x)=3x²−6x
- f''(x)=6x−6
- 0으로 놓기: 6x−6=0 → x=1 (좌우로 부호가 바뀌므로 변곡점)
핵심: 변곡점은 f''=0이면서 부호가 바뀌는 곳.