극값 — 기울기가 0인 곳
“꼭대기와 바닥에선 기울기가 0이다.”
수식
f'(x) = 0읽는 법: 미분값(기울기)이 0이 되는 x — 그곳이 극대·극소의 후보다
- f'(x)
- — 미분값 = 그 점의 기울기
- = 0
- — 기울기가 0, 접선이 수평
- x
- — 극대·극소가 될 후보 지점
이야기의 시작
함수의 꼭대기와 바닥을 찾는 법은 놀랄 만큼 단순하다 — '기울기가 0인 곳을 찾아라'.
쉬운 말로
미분한 식을 0으로 놓고 풀면, 접선이 수평이 되는 x가 나온다. 거기가 극대나 극소일 후보다.
직관
언덕을 오르다 정상에 서면 순간 평평하다. 계곡 바닥도 그렇다. 올라가다(기울기 +) 내려가는(기울기 −) 전환점에서 기울기는 정확히 0을 지난다.
어떻게 만들어지나
f'(x)=0 을 풀어 후보 x를 모은다. 그다음 그 점이 봉우리인지 골짜기인지는 좌우 기울기 부호나 이계도함수로 판정한다.
예시
f(x)=x²−4x+3 이면 f'(x)=2x−4. 0으로 놓으면 x=2. 그때 f(2)=4−8+3=−1 — 이 포물선의 최저점이다.
흔한 오해
기울기 0이라고 항상 극값은 아니다. f(x)=x³은 x=0에서 f'=0이지만 봉우리도 골짜기도 아니고 그냥 스쳐 지나간다(변곡).
어디에 쓰나
이익 최대·비용 최소·최단 경로 — '가장 좋은 값'을 찾는 최적화 문제는 전부 기울기 0을 푸는 데서 시작한다.
어디서 왔나
페르마가 미분이 정식화되기도 전에 '최댓값 근처에서 변화가 멎는다'는 아이디어로 극값 찾기의 씨앗을 뿌렸다.
선행 개념
확인 문제
f(x)=x²−6x 의 극값을 주는 x는?
- 0
- 2
- 3✓
- 6
연습
f(x)=x²−2x 의 극값을 주는 x는?
정답: 1
- f'(x)=2x−2
- 0으로 놓기: 2x−2=0 → x=1
핵심: 미분해서 0으로 놓고 x를 푼다.
f(x)=x²+6x+5 의 최솟값을 주는 x는?
정답: -3
- f'(x)=2x+6
- 0으로 놓기: 2x+6=0 → x=−3
핵심: 위로 열린 포물선은 기울기 0인 곳이 최저점.
f(x)=x³−3x 의 임계점(기울기 0인 x)을 모두 구하라.
정답: undefined
- f'(x)=3x²−3
- 0으로 놓기: 3x²−3=0 → x²=1 → x=1, x=−1
핵심: 임계점은 하나가 아닐 수 있다 — 방정식의 모든 해를 챙겨라.