해석·미적분methodintermediate
정적분
“정적분은 넓이를 '하나의 수'로 뽑아낸 것이다.”
수식
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)읽는 법: a부터 b까지의 넓이는, 원시함수 F에 b와 a를 넣어 뺀 값이다
- a, b
- — 적분 구간의 시작과 끝(아래끝·위끝)
- F
- — f의 원시함수(미분하면 f가 되는 함수)
- F(b) − F(a)
- — 위끝 값에서 아래끝 값을 뺌
이야기의 시작
정적분은 넓이를 '무한히 더할' 필요 없이, 원시함수에 두 수를 넣어 빼는 것으로 끝난다.
쉬운 말로
구간 [a,b]에서의 넓이를, 리만 합 대신 원시함수 F를 찾아 F(b)−F(a)로 간단히 계산한다.
직관
적분은 하나의 '수'다(함수가 아니다). 마치 이정표처럼, 시작점까지 쌓인 양 F(a)와 끝점까지 쌓인 양 F(b)의 차이가 그 구간에서 새로 쌓인 넓이다.
어떻게 만들어지나
① f의 원시함수 F를 찾는다(미분하면 f가 되는 함수) ② 위끝 b를 넣고 ③ 아래끝 a를 넣어 뺀다. 대괄호 [F(x)]ₐᵇ가 그 '넣고 빼기'를 뜻한다.
예시
∫₀³ x² dx: 원시함수는 x³/3. [x³/3]₀³ = 27/3 − 0 = 9.
흔한 오해
정적분은 함수가 아니라 하나의 수다. 또 '부호 있는 넓이'라 x축 아래 부분은 음수로 세어져, 값이 0이나 음수가 될 수도 있다.
어디에 쓰나
총 이동거리·평균값·일·확률 등 '구간에 걸친 총량'을 실제 숫자로 뽑아낼 때 쓴다.
어디서 왔나
라이프니츠의 ∫ 기호는 합을 뜻하는 라틴어 summa의 S를 늘인 것 — '더함'의 흔적이 표기에 남아 있다.
선행 개념
확인 문제
∫₀² x dx 의 값은?
- 1
- 2✓
- 4
- 0
연습
∫₀² 2x dx 를 계산하라.
정답: 4
풀이:
- 원시함수: x²
- [x²]₀² = 4 − 0 = 4
핵심: 원시함수 찾고, 위끝·아래끝 넣어 빼기.
∫₁² 3x² dx 를 계산하라.
정답: 7
풀이:
- 원시함수: x³
- [x³]₁² = 8 − 1 = 7
핵심: 계수 3 덕분에 원시함수가 깔끔한 x³.
∫₀¹ (2x+1) dx 를 계산하라.
정답: 2
풀이:
- 원시함수: x²+x
- [x²+x]₀¹ = (1+1) − 0 = 2
핵심: 항별로 원시함수를 구해 합친다.