곱의 미분법
“곱의 미분은 '하나씩 미분해서 더하기'.”
수식
(f·g)' = f'·g + f·g'읽는 법: 곱의 미분은 '앞을 미분하고 뒤는 그대로' 더하기 '앞은 그대로 두고 뒤를 미분'
- f, g
- — 곱해지는 두 함수
- f', g'
- — 각 함수의 미분
- f'g + fg'
- — '앞을 미분×뒤 그대로' + '앞 그대로×뒤를 미분'
이야기의 시작
가장 흔한 실수는 (fg)'을 f'g'이라 믿는 것 — 곱의 미분은 그렇게 단순하지 않다.
쉬운 말로
두 함수의 곱을 미분하면, 한 번에 하나씩만 미분한 두 항을 더한다.
직관
가로 f, 세로 g인 직사각형의 넓이 fg를 떠올려라. 두 변이 각각 조금 늘면 넓이는 두 방향으로 자란다 — 가로가 는 만큼(f'g)과 세로가 는 만큼(fg'). 그 둘의 합이 넓이의 증가율이다.
어떻게 만들어지나
두 조각 — f'g(앞만 변할 때의 기여)와 fg'(뒤만 변할 때의 기여). 둘이 동시에 변하는 아주 작은 몫(f'g'·h)은 h→0에서 사라져 안 남는다.
예시
f=x², g=x³ 이면 f'g+fg' = 2x·x³ + x²·3x² = 2x⁴+3x⁴ = 5x⁴. 실제로 x²·x³=x⁵의 미분이 5x⁴이니 딱 맞다.
흔한 오해
(fg)' ≠ f'g'. 미분을 각각 해서 곱하면 틀린다. 반드시 두 항을 '더해야' 한다.
어디에 쓰나
속도×질량, 길이×너비처럼 변하는 두 양의 곱이 나오는 모든 곳. 뒤에 나올 미분들의 조립 부품이기도 하다.
어디서 왔나
라이프니츠가 1670년대에 곱의 미분을 정리하며 지금의 규칙 형태를 세웠다.
선행 개념
확인 문제
(f·g)' 은 무엇과 같은가?
- f'g'
- f'g + fg'✓
- f' + g'
- fg
연습
h(x)=x·x² 를 곱의 미분법으로 미분해 x=2 에서 h'(2)를 구하라.
정답: 12
- f=x, f'=1 ; g=x², g'=2x
- h'=1·x² + x·2x = x²+2x² = 3x²
- x=2 대입 → 3·4 = 12
핵심: x·x²=x³의 미분 3x²과 같다 — 검산 통과.
h(x)=(x+1)(x+2) 를 곱의 미분법으로 미분해 h'(1)을 구하라.
정답: 5
- f=x+1, f'=1 ; g=x+2, g'=1
- h'=(x+2) + (x+1) = 2x+3
- x=1 대입 → 5
핵심: 전개하면 x²+3x+2, 미분 2x+3 — 결과 일치.
h(x)=x²·(x+1) 를 곱의 미분법으로 미분하고, 전개해서 검산하라.
정답: undefined
- f=x², f'=2x ; g=x+1, g'=1
- h'=2x(x+1) + x²·1 = 2x²+2x+x² = 3x²+2x
- 검산: 전개 x³+x², 미분 3x²+2x — 일치
핵심: 곱의 미분과 전개 후 미분은 항상 같은 답.