테일러 근사 — 곡선을 다항식으로
“테일러 근사는 곡선을 다항식으로 갈아 끼우는 것이다.”
수식
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x−a) + ½f''(a)(x−a)²읽는 법: 곡선을 한 점 근처에서 값·기울기·휘어짐을 차례로 맞춰 다항식으로 흉내낸 것
- f(a)
- — 그 점의 값 — 0차: 높이 맞춤
- f'(a)(x−a)
- — 기울기 맞춤 — 1차: 접선
- ½f''(a)(x−a)²
- — 휘어짐 맞춤 — 2차: 볼록
이야기의 시작
컴퓨터는 sin이나 eˣ을 어떻게 계산할까? 답은 놀랍다 — 곡선을 다항식으로 바꿔치기한다.
쉬운 말로
복잡한 함수를, 한 점 근처에서 값과 기울기와 휘어짐이 똑같아지도록 맞춘 간단한 다항식으로 근사한 것.
직관
한 점에 접선을 그으면(1차) 그 근처를 대충 흉내낸다. 거기에 곡선의 '휘어짐'(2차)을 더하면 더 딱 붙는다. 항을 더할수록 다항식이 진짜 곡선을 점점 더 넓게 감싼다.
어떻게 만들어지나
0차는 높이 f(a), 1차 항은 기울기 f'(a)(x−a)로 접선을 만들고, 2차 항 ½f''(a)(x−a)²는 볼록·오목을 맞춘다. 각 항이 도함수 하나씩을 그 점에서 일치시킨다.
예시
eˣ을 a=0 근처에서: f(0)=1, f'(0)=1, f''(0)=1 → 1+x+x²/2. x=0.1이면 1+0.1+0.005 = 1.105. 실제 e^0.1 ≈ 1.10517 과 거의 같다.
흔한 오해
근사는 기준점 a 근처에서만 잘 맞는다. 멀어질수록 벌어지고, 항을 더하면 정확도는 오르지만 아무 데서나 맞는 건 아니다(수렴 반경).
어디에 쓰나
계산기·컴퓨터가 sin·eˣ·ln을 계산하는 방식, 물리의 소각근사 sinθ≈θ, 공학의 선형화 등 실전 계산 도처에 쓰인다.
어디서 왔나
브룩 테일러가 18세기에 정리했고, 기준점을 a=0으로 둔 특수한 경우는 매클로린 급수라 부른다.
선행 개념
확인 문제
테일러 근사의 1차 항(선형 항)까지는 무엇과 같은가?
- 접선✓
- 넓이
- 극한
- 이계도함수
연습
eˣ의 1차(접선) 근사 1+x 로 x=0.2 에서의 근삿값은?
정답: 1.2
- 근사식: 1+x
- x=0.2 대입 → 1.2 (실제 e^0.2 ≈ 1.221)
핵심: 1차 근사는 접선 — 가까운 데선 꽤 정확.
eˣ ≈ 1+x+x²/2 (a=0) 로 x=1 에서의 근삿값은?
정답: 2.5
- 1 + 1 + 1²/2 = 1 + 1 + 0.5
- = 2.5 (실제 e ≈ 2.718 — 멀어서 오차가 큼)
핵심: 기준점에서 멀수록 항을 더 넣어야 정확해진다.
소각근사 sinθ≈θ 가 성립하는 이유를 테일러로 설명하라. θ=0에서 sin의 1차 근사는?
정답: undefined
- sin 0 = 0, (sin)'=cos, cos 0 = 1
- 1차 근사: 0 + 1·(θ−0) = θ
- 그래서 작은 θ에서 sinθ ≈ θ
핵심: 물리의 소각근사는 사실 테일러 1차 항이다.