다중적분 — 부피를 얇게 쌓기
“다중적분은 '작은 넓이 칸마다 높이를 곱해 전부 더한 부피'다.”
수식
∬_R f(x, y) dA = ∫∫ f(x, y) dx dy읽는 법: 영역 R 위에서 함수 f를 x로 한 번, y로 한 번 적분하여 곡면 아래에 갇힌 부피를 구한다
- ∬_R
- — 영역 R 위의 이중적분 기호
- dA
- — 면적 조각 dA = 아주 작은 넓이 한 칸
- dx dy
- — 안쪽 적분(x)을 먼저, 바깥 적분(y)을 나중에 — 반복적분
이야기의 시작
1차원 적분이 '넓이'를 재는 자였다면, 2차원 적분은 '부피'를 재는 자다 — 곡면과 바닥 사이 공간을 통째로 담는다.
쉬운 말로
바닥 영역 R을 아주 작은 사각형들로 잘게 나누고, 각 칸의 넓이에 그 위 함수값(높이)을 곱해 기둥 부피를 만든 뒤, 전부 더한 것이다.
직관
도시 지도 위에 건물 높이 f(x,y)가 정해져 있다고 하자. 각 블록(작은 넓이 dA)마다 '넓이 × 높이 = 그 블록의 부피'를 구하고, 도시 전체를 더하면 총 부피다. 적분 기호가 두 개인 이유는 가로(x)로 한 번, 세로(y)로 한 번 훑기 때문이다.
어떻게 만들어지나
반복적분은 안에서 밖으로 계산한다. 먼저 y를 고정한 채 x로 적분(그 한 줄의 단면 넓이를 구함), 그다음 그 결과를 y로 적분(단면들을 쌓아 부피 완성). 안쪽 적분에서 y가 상수인 게 편미분과 정확히 짝을 이룬다.
예시
∫₀¹∫₀¹ (x+y) dx dy 를 계산하자. 안쪽(x): ∫₀¹(x+y)dx = [x²/2 + yx]₀¹ = 1/2 + y. 바깥(y): ∫₀¹(1/2 + y)dy = [y/2 + y²/2]₀¹ = 1/2 + 1/2 = 1. 부피는 1.
흔한 오해
'적분 기호가 둘이니 두 배로 어렵다'가 아니다 — 한 번에 하나씩, 다른 변수는 상수로 두고 순서대로 적분할 뿐이다. 매끈한 영역에서는 x 먼저든 y 먼저든 결과가 같다(푸비니 정리).
어디에 쓰나
질량·무게중심·관성모멘트(밀도를 영역에서 적분), 확률의 결합분포(2변수 확률의 총합=1), 전자기장의 플럭스, 컴퓨터그래픽스의 조명 적분까지 — '영역 위에 쌓인 양의 총합'은 전부 다중적분이다.
어디서 왔나
뉴턴·라이프니츠의 적분을 여러 변수로 확장한 것으로, 19세기 푸비니가 '반복적분으로 바꿔 풀어도 된다'는 정리를 세우며 실전 계산의 문을 열었다.
선행 개념
확인 문제
∫₀¹∫₀¹ 1 dx dy 의 값은? (단위 정사각형 위 높이 1의 부피)
- 0
- 1✓
- 2
- 1/2
연습
∫₀²∫₀³ 1 dx dy 를 계산하라. (밑변 3×2 위 높이 1인 상자의 부피)
정답: 6
- 안쪽: ∫₀³ 1 dx = 3
- 바깥: ∫₀² 3 dy = 3·2 = 6
핵심: 상수 1을 적분하면 곧 영역의 넓이 × 높이 = 부피.
∫₀¹∫₀¹ (x+y) dx dy 를 계산하라.
정답: 1
- 안쪽(x): ∫₀¹(x+y)dx = 1/2 + y
- 바깥(y): ∫₀¹(1/2 + y)dy = 1/2 + 1/2 = 1
핵심: 반복적분은 안에서 밖으로 — 안쪽에선 y가 상수.
∫₀²∫₀² xy dx dy 를 계산하라.
정답: 4
- 안쪽(x): ∫₀² xy dx = y·[x²/2]₀² = 2y
- 바깥(y): ∫₀² 2y dy = [y²]₀² = 4
핵심: 변수가 분리되면 (∫x dx)(∫y dy) 로 곱해도 된다: 2·2 = 4.
적분 순서(x 먼저 vs y 먼저)를 바꿔도 답이 같은 이유(푸비니 정리)를 노트에 설명해 보라.
정답: undefined
- 부피는 어떻게 잘라 쌓든 같은 실체 — 세로 단면을 쌓든 가로 단면을 쌓든 같은 공간
- 연속(적분 가능)한 함수·유계 영역이면 두 반복적분이 모두 그 부피와 같아진다
- 이것이 푸비니 정리 — 순서 교환이 허용되는 조건
핵심: 매끈한 함수라면 적분 순서는 자유 — 부피라는 실체는 하나뿐.