해석·미적분conceptadvanced

급수의 수렴

“무한히 더해도 답은 유한할 수 있다 — 조각이 충분히 빨리 작아지기만 하면.”

수식

S = Σ(n=1..∞) aₙ = lim(N→∞) (a₁ + a₂ + ⋯ + a_N); Σ(n=0..∞) arⁿ = a/(1−r), |r|<1

읽는 법: 무한히 많은 항을 더한 값은, 앞에서부터 N개까지 더한 부분합이 다가가는 극한으로 정의한다

aₙ: — 급수의 n번째 항
Σ(n=1..N): — 앞에서 N개까지만 더한 유한 합
S: — 부분합이 다가가는 극한 — 급수의 합
r: — 등비급수의 공비 — |r|<1 이면 수렴

이야기의 시작

무한히 많은 수를 더하는데 답이 유한할 수 있다 — 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ⋯ = 2.

쉬운 말로

무한급수의 '합'이란 실제로 끝까지 더한 게 아니다. N개까지 더한 부분합을 만들고, N을 키울 때 그 값이 어떤 수 S로 다가가면 '급수가 S로 수렴한다'고 한다.

직관

방을 가로지르는데 매번 남은 거리의 절반씩만 간다고 하자. ½, ¾, ⅞, … 결코 벽에 도착하지 않지만 이동 거리의 합은 1(방 하나)에 한없이 다가간다. 무한한 조각이 유한한 벽 안에 딱 들어맞는다.

어떻게 만들어지나

항 aₙ이 얼마나 빨리 0으로 작아지느냐가 승부. 반씩 줄면(공비 ½) 부분합이 벽에 다가가 수렴한다. 너무 천천히 줄면 부분합이 끝없이 커져 발산한다. 등비급수는 |r|<1일 때 a/(1−r)로 딱 떨어진다.

예시

Σ(n=0..∞)(½)ⁿ = 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ⋯. 부분합은 1, 1.5, 1.75, 1.875, … → 2. 공식으로도 a=1, r=½ 이므로 1/(1−½)=2.

흔한 오해

항이 0으로 가면 무조건 수렴한다? 아니다. 조화급수 1 + ½ + ⅓ + ¼ + ⋯ 는 항이 0으로 가는데도 합이 무한대로 발산한다. 0으로 '가는 것'과 '충분히 빨리 가는 것'은 다르다.

어디에 쓰나

소수의 무한 전개, 이자·연금의 현재가치, 테일러 급수로 함수를 다항식으로 근사, 컴퓨터의 반복 계산 오차 분석 — 무한을 유한하게 다루는 곳마다 급수 수렴이 깔려 있다.

어디서 왔나

제논의 역설(아킬레스와 거북)이 2천 년 넘게 사람들을 괴롭혔고, 코시가 부분합의 극한이라는 정의로 마침내 '무한한 합'을 엄밀하게 만들었다.

선행 개념

시그마와 급수 수열의 극한

확인 문제

Σ(n=0..∞)(1/3)ⁿ = 1 + 1/3 + 1/9 + ⋯ 의 값은?

3/2✓
1/2
3
발산한다

연습

Σ(n=0..∞)(1/2)ⁿ = 1 + 1/2 + 1/4 + ⋯ 의 합을 구하라.

정답: 2

풀이:

등비급수 a=1, r=1/2
a/(1−r) = 1/(1−1/2) = 2

핵심: 등비급수는 a/(1−r) 한 방에.

Σ(n=1..∞)(1/2)ⁿ = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ 의 합을 구하라.

정답: 1

풀이:

첫 항 a=1/2, 공비 r=1/2
a/(1−r) = (1/2)/(1/2) = 1

핵심: 시작 항이 어디냐에 따라 첫 항 a가 바뀐다.

Σ(n=0..∞)(0.9)ⁿ 의 합을 구하라.

정답: 10

풀이:

a=1, r=0.9
1/(1−0.9) = 1/0.1 = 10

핵심: r이 1에 가까울수록 합은 폭발적으로 커진다.

조화급수 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ 는 수렴하는가, 발산하는가?