대푯값(평균·중앙값·최빈값)
“가운데를 재는 자는 평균·중앙값·최빈값, 셋이다.”
수식
x̄ = (x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ) / n읽는 법: 평균은 모든 자료를 다 더해 자료의 개수로 나눈 값
- x₁ … xₙ
- — 각각의 자료값
- n
- — 자료의 개수
- x̄
- — 평균 (자료의 합 ÷ 개수)
이야기의 시작
'대표 한 값'으로 자료 전체를 요약하는 방법은 하나가 아니다 — 평균·중앙값·최빈값, 상황마다 주인공이 다르다.
쉬운 말로
평균은 다 더해 개수로 나눈 값, 중앙값은 크기순 한가운데 값, 최빈값은 가장 자주 나온 값이다.
직관
평균은 자료를 시소 위에 올렸을 때 균형이 잡히는 지점이다. 중앙값은 줄 세웠을 때 딱 가운데 선 사람, 최빈값은 가장 많이 겹친 곳. 셋은 서로 다른 '가운데'를 가리킬 수 있다.
어떻게 만들어지나
평균은 모든 값을 반영해 극단값에 흔들린다. 중앙값은 순서만 보므로 극단값에 강하다. 최빈값은 가장 흔한 값이라 '유행'을 보여준다.
예시
자료 2, 3, 3, 7, 10 → 평균 = 25/5 = 5, 중앙값 = (크기순 2, 3, 3, 7, 10의 한가운데) 3, 최빈값 = 가장 많은 3.
흔한 오해
평균이 항상 '대표'는 아니다. 한 명의 연봉이 엄청 크면 평균은 확 올라가지만 대다수는 그보다 적게 번다 — 이럴 땐 중앙값이 더 정직하다.
어디에 쓰나
성적·소득·키·조회수를 한 숫자로 요약할 때. 특히 소득처럼 극단값이 큰 자료는 중앙값을 함께 봐야 왜곡을 피한다.
어디서 왔나
평균은 천문 관측의 오차를 줄이려 여러 측정을 '고르게 나눈' 데서 오래전부터 쓰였고, 중앙값·최빈값은 통계학이 자리 잡으며 함께 정리됐다.
선행 개념
확인 문제
자료 4, 6, 6, 8, 11 의 중앙값은?
- 6✓
- 7
- 8
- 35
연습
자료 3, 5, 7, 9, 11 의 평균은?
정답: 7
- 합 = 3+5+7+9+11 = 35
- 35 / 5 = 7
핵심: 평균 = 자료의 합 ÷ 개수.
자료 2, 3, 5, 8, 8, 10 의 중앙값은? (자료가 짝수 개)
정답: 6.5
- 크기순으로 놓으면 가운데 두 값은 5와 8
- (5 + 8) / 2 = 6.5
핵심: 자료가 짝수 개면 가운데 두 값의 평균이 중앙값.
자료 1, 2, 2, 2, 5, 9 의 평균·중앙값·최빈값을 각각 구하고, 어느 것이 자료를 가장 잘 대표하는지 생각해보라.
정답: undefined
- 평균 = 21/6 = 3.5
- 중앙값 = 가운데 두 값 (2, 2)의 평균 = 2
- 최빈값 = 가장 많은 2
- 큰 값 9 때문에 평균이 올라가므로, 중앙값·최빈값(2)이 더 대표적
핵심: 극단값이 있으면 평균보다 중앙값이 더 정직할 때가 있다.