닮음
“닮음은 '같은 모양, 다른 크기' — 그 크기 차이가 닮음비다.”
수식
a : a' = b : b' = c : c' = k읽는 법: 대응하는 변끼리의 길이의 비가 모두 같다 — 그 일정한 비 k가 닮음비다
- a, b, c / a', b', c'
- — 두 도형에서 서로 대응하는 변들
- k
- — 대응변 길이의 비(닮음비)
이야기의 시작
크기는 달라도 '모양이 똑같다'를 수학은 하나의 비(比)로 딱 잡아낸다.
쉬운 말로
두 도형이 닮았다는 건, 대응하는 각은 모두 같고 대응하는 변의 길이는 모두 같은 배율(k배)이라는 뜻이다.
직관
사진을 확대·축소하는 것을 떠올려라. 모든 부분이 똑같은 배율로 늘거나 줄어 모양은 그대로다. 이 '한결같은 배율'이 닮음비 k다. 각은 배율과 무관하게 그대로 유지된다.
어떻게 만들어지나
두 축으로 나뉜다 — ① 대응각이 모두 같다(모양 유지) ② 대응변의 비가 모두 k로 같다(크기만 변함). 그리고 결정적으로, 길이가 k배면 넓이는 k²배가 된다.
예시
닮음비가 2인 두 삼각형: 작은 쪽 대응변이 3이면 큰 쪽은 6. 넓이는 2배가 아니라 2² = 4배가 된다.
흔한 오해
닮음비가 2라고 넓이도 2배가 아니다. 길이는 k배, 넓이는 k²배, 부피는 k³배. 이 'k의 거듭제곱' 차이를 자주 놓친다.
어디에 쓰나
지도의 축척, 축소 모형과 실물, 그림자로 나무 높이 재기, 화면 해상도 확대까지 — 크기를 바꿔도 모양이 유지되는 모든 곳.
어디서 왔나
탈레스가 그림자의 비를 이용해 피라미드의 높이를 쟀다는 이야기가 닮음의 가장 오래된 활용으로 전해진다.
선행 개념
확인 문제
닮음비가 3인 두 도형에서, 넓이의 비는?
- 3
- 6
- 9✓
- 27
연습
닮음비가 2 : 3인 두 삼각형에서, 작은 삼각형의 한 변이 6이면 큰 삼각형의 대응변은?
정답: 9
- 대응변의 비가 2 : 3으로 일정하다
- 6 : x = 2 : 3 → 2x = 18 → x = 9
핵심: 대응변끼리는 언제나 같은 비 — 비례식 한 번으로 구한다.
닮음비가 1 : 4인 두 도형의 넓이의 비는?
정답: 2
- 넓이의 비는 닮음비의 제곱
- 1² : 4² = 1 : 16
핵심: 넓이는 닮음비의 제곱 — 길이가 4배면 넓이는 16배.
닮음비가 1 : 2인 두 정육면체의 부피의 비는? 왜 그런지도 노트에 적어보라.
정답: undefined
- 부피는 닮음비의 세제곱
- 1³ : 2³ = 1 : 8
- 길이(1차원)는 k, 넓이(2차원)는 k², 부피(3차원)는 k³이기 때문
핵심: 차원이 하나 오를 때마다 닮음비의 지수도 하나씩 오른다.