기하conceptfoundations

삼각형의 합동

“삼각형은 딱 세 조건만 맞으면 완전히 같아진다.”

수식

△ABC ≅ △DEF

읽는 법: 삼각형 ABC와 DEF는 합동 — 크기와 모양이 완전히 같아 포개진다

≅: — 합동 기호 — 완전히 포갤 수 있음
△ABC, △DEF: — 대응하는 꼭짓점 순서로 쓴 두 삼각형

이야기의 시작

세 변, 세 각을 다 재지 않아도 — 딱 세 가지만 같으면 두 삼각형은 완전히 같다.

쉬운 말로

두 삼각형이 합동이라는 건, 돌리거나 뒤집어서 완전히 포갤 수 있다는 뜻이다. 대응하는 변과 각이 모두 같다.

직관

삼각형은 '고집이 센' 도형이다. 세 변의 길이가 정해지면 모양이 하나로 굳어 흔들리지 않는다(그래서 다리·탑의 뼈대에 쓴다). 그 굳는 방식이 세 가지라, 합동을 판정하는 조건도 세 가지다.

어떻게 만들어지나

세 판정 조건 — SSS(세 변), SAS(두 변과 낀 각), ASA(한 변과 양 끝 각). 이 중 하나만 확인되면 나머지는 저절로 같아진다. 핵심은 '낀 각'·'양 끝 각'처럼 각과 변의 위치 관계다.

예시

두 변이 각각 5cm, 7cm이고 그 사이 낀 각이 60°로 같다면(SAS), 두 삼각형은 나머지를 재보지 않아도 합동이다.

흔한 오해

각 세 개만 같으면 합동일 것 같지만 아니다(AAA는 합동이 아니라 '닮음'). 크기가 다른 채 모양만 같을 수 있기 때문. 또 SSA(끼지 않은 각)는 두 가지 삼각형이 나올 수 있어 합동 조건이 아니다.

어디에 쓰나

도형 증명의 기본 도구이자, 측량·제도·부품 규격처럼 '똑같은 것을 만들거나 확인'하는 모든 곳의 바탕.

어디서 왔나

유클리드의 『원론』이 이미 SAS·ASA·SSS를 합동의 기준으로 정리했고, 2천 년 넘게 기하 증명의 출발점이 되어 왔다.

확인 문제

다음 중 삼각형의 합동 조건이 아닌 것은?

세 변이 각각 같다 (SSS)
두 변과 그 낀 각이 같다 (SAS)
세 각이 각각 같다 (AAA)✓
한 변과 양 끝 각이 같다 (ASA)

연습

두 삼각형에서 두 변이 각각 4, 6으로 같고 그 사이 낀 각도 같다. 어떤 합동 조건인가?

정답: 1

풀이:

같은 것: 변-각-변 (두 변과 그 사이의 낀 각)
이 배치가 바로 SAS

핵심: 각이 두 변 '사이'에 끼어 있으면 SAS다.

세 각이 각각 같은 두 삼각형은 반드시 합동일까? 아니라면 무엇인지 노트에 적어보라.

정답: undefined

풀이:

세 각이 같아도 크기가 다를 수 있다
예: 작은 정삼각형과 큰 정삼각형 — 각은 모두 60°로 같지만 크기가 다름
따라서 합동이 아니라 '닮음'이다

핵심: 각만 같으면 모양은 같아도 크기는 자유 — 그건 닮음이다.

한 변의 길이와 그 양 끝 두 각이 같은 두 삼각형은 합동인가? 조건 이름도 답하라.