원의 호와 부채꼴
“부채꼴은 '원 전체 × 내 조각의 몫(θ/360)'이 전부다.”
수식
π r² × (θ / 360)읽는 법: 부채꼴의 넓이는 원 전체 넓이에, 중심각이 차지하는 몫(θ/360)을 곱한 값이다
- r
- — 원의 반지름
- θ
- — 부채꼴의 중심각(도 단위)
- θ / 360
- — 부채꼴이 원 전체에서 차지하는 비율
이야기의 시작
부채꼴은 결국 '피자 한 조각' — 원 전체에서 내 조각이 몇 분의 몇인지만 알면 된다.
쉬운 말로
부채꼴은 원의 일부다. 중심각 θ가 한 바퀴(360°)에서 차지하는 비율만큼, 원 전체의 넓이(또는 둘레)를 잘라 가진 것이다.
직관
피자 한 판을 떠올려라. 중심각이 90°면 한 바퀴의 1/4이라, 넓이도 호의 길이도 딱 전체의 1/4이다. θ/360이 바로 '내 조각의 몫'이다.
어떻게 만들어지나
부품은 두 개 — ① 원 전체의 양(넓이 πr², 둘레 2πr) ② 내 조각의 비율 θ/360. 둘을 곱하면 부채꼴 넓이 = πr²·(θ/360), 호의 길이 = 2πr·(θ/360)이 된다.
예시
반지름 6, 중심각 90°인 부채꼴: 넓이 = π·6²·(90/360) = 36π·(1/4) = 9π. 호의 길이 = 2π·6·(1/4) = 3π.
흔한 오해
부채꼴 넓이에 반지름 대신 지름을 넣거나, θ/360 곱하는 걸 빼먹고 원 전체 넓이로 답하기 쉽다. θ가 몇 분의 몇인지부터 잡아야 한다.
어디에 쓰나
피자·파이 조각 계산, 시계 바늘이 쓸고 간 넓이, 원형 트랙·부채·팬 설계 등 원의 일부가 나오는 모든 곳.
어디서 왔나
원의 넓이 πr²을 아르키메데스가 원을 무한히 잘게 쪼개 구했고, 부채꼴은 그 원을 각의 비율로 나눈 자연스러운 응용이다.
확인 문제
반지름 6, 중심각 90°인 부채꼴의 넓이는? (π의 계수로 답)
- 3π
- 6π
- 9π✓
- 36π
연습
반지름 6, 중심각 90°인 부채꼴의 호의 길이는? π의 계수로 답하라(예: 3π면 3).
정답: 3
- 호의 길이 = 2πr × (θ/360) = 2π·6 × (90/360)
- = 12π × (1/4) = 3π
- π의 계수는 3
핵심: 호의 길이는 '원 둘레 2πr'에 조각의 몫을 곱한 것.
반지름 5인 원 전체의 넓이는? π의 계수로 답하라.
정답: 25
- 원의 넓이 = πr² = π·5²
- = 25π
- π의 계수는 25
핵심: 중심각 360°(한 바퀴)면 부채꼴이 곧 원 전체.
반지름 4, 중심각 90°인 부채꼴의 넓이를 π의 계수로 구하라. 원 전체의 몇 분의 몇인지도 노트에 적어보라.
정답: 4
- 90°는 360°의 1/4
- 넓이 = π·4² × (1/4) = 16π × (1/4) = 4π
- π의 계수는 4
핵심: 먼저 θ/360으로 '몇 분의 몇'을 잡으면 계산이 쉬워진다.