내적과 외적 — 얼마나 나란한가 vs 어디에 수직인가
“내적은 '얼마나 나란한가'(숫자), 외적은 '어디에 수직인가'(벡터).”
수식
a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cosθ; |a×b| = |a||b|sinθ읽는 법: 내적은 두 벡터가 얼마나 같은 방향인지를 숫자로, 외적은 두 벡터 모두에 수직인 새 벡터를 만든다
- a·b
- — 내적 — 결과가 숫자(스칼라), '얼마나 나란한가'
- a×b
- — 외적 — 결과가 벡터, '두 벡터에 수직인 방향'
- θ
- — 두 벡터 사이의 각
이야기의 시작
두 벡터를 곱하는 방법은 둘이다 — 하나는 '얼마나 같은 편인가'를 묻는 내적, 다른 하나는 '둘 다에 직각인 방향은 어디인가'를 묻는 외적.
쉬운 말로
내적 a·b는 두 벡터가 얼마나 나란한지를 재는 하나의 숫자다. 외적 a×b는 두 벡터가 이루는 평면에 수직으로 솟은 새 벡터다.
직관
내적: 손전등(a)으로 벽(b 방향)을 비출 때 생기는 그림자의 길이 같은 것 — 같은 방향이면 크고, 직각이면 0, 반대면 음수. 외적: 문을 밀 때 경첩축이 회전축(두 벡터에 수직)으로 솟는 것처럼, a와 b가 만드는 평면을 뚫고 나오는 화살표다. 그 길이는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이.
어떻게 만들어지나
내적은 성분끼리 곱해 더한다: a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃, 그리고 이는 |a||b|cosθ와 같다 — cos이 '나란함'을 담는다. 외적의 크기는 |a||b|sinθ로 '수직 성분'을 담고, 방향은 오른손 법칙(오른손 네 손가락을 a에서 b로 감으면 엄지가 a×b)으로 정한다.
예시
a=(1,0,0), b=(0,1,0)이면 a·b = 1·0+0·1+0·0 = 0 (직각이라 0). 외적은 (0,0,1) — x축과 y축 모두에 수직인 z축, 크기 |a||b|sin90°=1. 2차원 내적 예: (3,4)·(2,1) = 6+4 = 10.
흔한 오해
둘을 헷갈리기 쉽다 — 내적의 결과는 방향 없는 숫자(스칼라)고, 외적의 결과는 화살표(벡터)다. 또 내적이 0이면 '수직', 외적이 0이면 '평행(나란함)'이다. 정반대 조건임에 주의.
어디에 쓰나
내적: 일(힘·거리), 벡터의 사영·유사도(추천·검색의 코사인 유사도), 조명의 밝기 계산. 외적: 토크·각운동량, 법선벡터(3D 그래픽스의 면 방향), 자기력 F=qv×B — 물리와 컴퓨터그래픽스의 뼈대다.
어디서 왔나
19세기 해밀턴의 사원수(quaternion)에서 싹텄고, 기브스와 헤비사이드가 이를 다듬어 오늘날의 벡터 내적·외적으로 분리해 냈다.
선행 개념
확인 문제
(1,2,3)·(4,0,0) 의 값은?
- 4✓
- 6
- 0
- 9
연습
(3,4)·(1,2) 의 내적을 구하라.
정답: 11
- 성분끼리 곱해 더한다: 3·1 + 4·2
- = 3 + 8 = 11
핵심: 내적 = 성분별 곱의 합, 결과는 하나의 숫자.
(2,0,0)·(0,5,0) 의 내적을 구하라. 결과의 기하적 의미는?
정답: 0
- 2·0 + 0·5 + 0·0 = 0
- 내적 0 → 두 벡터가 서로 수직(직각)
핵심: 내적 0 = 수직. x축과 y축은 직각이라 내적 0.
|a|=2, |b|=3, 두 벡터가 직각(θ=90°)일 때 외적의 크기 |a×b| 를 구하라.
정답: 6
- |a×b| = |a||b|sinθ = 2·3·sin90°
- sin90°=1 → 2·3·1 = 6
핵심: 외적 크기 = 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이.
내적이 0이면 '수직', 외적이 0이면 '평행'인 이유를 cosθ·sinθ 로 설명해 보라.
정답: undefined
- 내적 = |a||b|cosθ, θ=90°면 cos90°=0 → 내적 0 (수직)
- 외적 크기 = |a||b|sinθ, θ=0°면 sin0°=0 → 외적 0 (평행)
- cos은 '나란함', sin은 '벌어짐'을 재므로 정반대 조건
핵심: 내적은 cos(나란함), 외적은 sin(수직 성분) — 0이 되는 조건이 정반대.