삼각비
“삼각비는 '각도를 변의 비율로 바꾸는' 변환기다.”
수식
sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj읽는 법: 직각삼각형에서 한 각 θ를 기준으로, 마주 보는 변·붙어 있는 변·빗변의 길이의 비
- sin θ
- — θ의 맞은편 변(높이) ÷ 빗변
- cos θ
- — θ에 붙은 변(밑변) ÷ 빗변
- tan θ
- — θ의 맞은편 변 ÷ θ에 붙은 변 (= 기울기)
이야기의 시작
직접 잴 수 없는 산의 높이나 강의 폭을, 각도 하나와 비(比)로 알아낸다 — 그게 삼각비다.
쉬운 말로
직각삼각형에서 한 예각 θ를 정하면, 세 변끼리의 길이의 비가 각의 크기만으로 정해진다. 그 비가 sin, cos, tan이다.
직관
닮은 직각삼각형은 크기가 달라도 변의 '비율'이 같다. 그래서 각 θ만 같으면 삼각형이 크든 작든 sin, cos, tan 값은 똑같다. 각도가 곧 '변의 비율'을 정하는 것이다.
어떻게 만들어지나
θ를 기준으로 세 변을 부른다 — 맞은편(높이), 붙은 변(밑변), 빗변. sin은 높이/빗변, cos는 밑변/빗변, tan은 높이/밑변. tan은 곧 그 각의 '기울기'이기도 하다.
예시
세 변이 3-4-5인 직각삼각형에서 길이 3인 변의 맞은편 각을 θ라 하면: sin θ = 3/5 = 0.6, cos θ = 4/5 = 0.8, tan θ = 3/4 = 0.75.
흔한 오해
sin과 cos에서 '맞은편'과 '붙은 변'을 바꿔 넣기 쉽다. 기준 각 θ가 어디냐에 따라 어느 변이 높이·밑변인지 달라진다는 점이 핵심이다.
어디에 쓰나
삼각측량으로 산 높이·거리 재기, 경사로의 기울기, 진동·파동·소리, 컴퓨터 그래픽의 회전까지 — 각과 길이를 잇는 다리.
어디서 왔나
고대 그리스·인도의 천문학자들이 별과 지평선의 각으로 거리를 재기 위해 '현(弦)의 표'를 만든 것이 삼각비의 시작이다.
선행 개념
확인 문제
sin 30° 의 값은?
- 0.5✓
- 0.707
- 0.866
- 1
연습
tan 45° 의 값은?
정답: 1
- 45°는 직각이등변삼각형 — 높이와 밑변이 같다
- tan 45° = 높이/밑변 = 1/1 = 1
핵심: tan이 1이면 높이와 밑변이 같은 45° 경사다.
세 변이 3-4-5인 직각삼각형에서, 길이 3인 변의 맞은편 각을 θ라 할 때 cos θ 의 값은?
정답: 0.8
- θ의 맞은편(높이) = 3, 붙은 변(밑변) = 4, 빗변 = 5
- cos θ = 붙은 변/빗변 = 4/5
- = 0.8
핵심: cos는 '붙은 변 ÷ 빗변' — 기준 각에 붙은 변을 고른다.
sin 60° 의 값을 근삿값으로 구하라. 왜 √3/2인지 노트에 적어보라.
정답: 0.87
- 한 변이 2인 정삼각형을 반으로 자르면 30°-60°-90° 삼각형
- 빗변 2, 밑변 1, 높이 √3
- sin 60° = 높이/빗변 = √3/2 ≈ 0.866
핵심: 30°-60°-90°의 변의 비는 1 : √3 : 2 — 외워 두면 편하다.