삼각함수
“삼각함수는 원 위를 도는 점의 높이와 폭이다.”
수식
sin²θ + cos²θ = 1읽는 법: 단위원 위 한 점의 세로좌표가 sinθ, 가로좌표가 cosθ이고, 두 값의 제곱을 더하면 항상 1
- sinθ
- — 단위원 위 점의 세로좌표(높이)
- cosθ
- — 단위원 위 점의 가로좌표(밑변)
- tanθ
- — sinθ/cosθ — 그 점을 잇는 직선의 기울기
이야기의 시작
삼각함수는 사실 '원 위를 도는 점의 그림자'다 — 각도를 넣으면 높이(sin)와 폭(cos)이 튀어나온다.
쉬운 말로
반지름 1인 원 위에서 각 θ만큼 돈 점의 세로 위치가 sinθ, 가로 위치가 cosθ. tanθ는 그 둘의 비다.
직관
원점을 중심으로 반지름 1짜리 자를 각 θ만큼 돌린다. 자 끝 점의 높이가 sin, 옆으로 간 거리가 cos. θ가 커지면 점이 원을 돌며 두 값이 −1과 1 사이를 물결치듯 오르내린다 — 그래서 삼각함수는 파동이 된다.
어떻게 만들어지나
점의 좌표는 (cosθ, sinθ). 이 점은 반지름 1인 원 위에 있으니 피타고라스에 의해 (가로)²+(세로)² = 1², 곧 sin²θ+cos²θ=1. 삼각함수의 모든 항등식은 이 원 하나에서 나온다.
예시
θ=30°일 때 sin30°=1/2, cos30°=√3/2. 확인: (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1. 항등식이 딱 맞는다.
흔한 오해
sin²θ 는 sin(θ²)이 아니라 (sinθ)² 이다. 또 sin(A+B) ≠ sinA + sinB — 삼각함수는 안의 각을 그냥 분배할 수 없다.
어디에 쓰나
소리·빛·전류의 파동, 진자와 용수철의 진동, 원운동, 삼각측량으로 거리 재기 — '돌고 흔들리는' 모든 현상의 수학이다.
어디서 왔나
sine의 어원은 인도 산스크리트어 '자'(현, jya)가 아랍어를 거쳐 라틴어 sinus('만·곡선')로 오역되며 굳어진 것이다.
선행 개념
확인 문제
sin 30° 의 값은?
- 1/2✓
- √3/2
- 1
- 0
연습
sin 90° 의 값을 구하라.
정답: 1
- 90°는 원의 맨 위 점 (0,1)
- 세로좌표가 1 → sin 90° = 1
핵심: sin은 원 위 점의 '높이'다.
cos 60° 의 값을 구하라.
정답: 0.5
- 60°인 점의 가로좌표
- cos 60° = 1/2 = 0.5
핵심: cos는 원 위 점의 '폭'이다.
tan 45° 의 값을 구하라.
정답: 1
- tan 45° = sin45°/cos45° = (√2/2)/(√2/2)
- = 1
핵심: 45°에서는 높이와 폭이 같아 기울기가 1.
θ=30°일 때 sin²θ + cos²θ = 1 이 성립함을 계산으로 확인하라.
정답: undefined
- sin30°=1/2, cos30°=√3/2
- (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4
- = 1
핵심: 이 항등식은 반지름 1인 원의 피타고라스다.