여사건의 확률
“'적어도 하나'는 1에서 '하나도 없음'을 빼라.”
수식
P(Aᶜ) = 1 − P(A)읽는 법: 사건 A가 일어나지 않을 확률은, 1에서 A가 일어날 확률을 뺀 값
- A
- — 어떤 사건
- Aᶜ
- — A가 일어나지 않는 사건(여사건)
- 1 − P(A)
- — 전체 확률 1에서 A가 일어날 확률을 뺀 것
이야기의 시작
'적어도 하나'처럼 세기 벅찬 확률은, 거꾸로 '하나도 없을' 확률을 1에서 빼면 단번에 풀린다.
쉬운 말로
어떤 일이 일어나지 않을 확률은, 전체 확률 1에서 그 일이 일어날 확률을 뺀 것이다.
직관
일어남과 안 일어남을 합치면 반드시 100%(=1)다. 두 조각이 원을 꽉 채우므로, 한 조각을 알면 나머지는 1에서 빼기만 하면 된다.
어떻게 만들어지나
사건 A와 그 여사건 Aᶜ는 겹치지 않고(동시에 못 일어남) 둘을 합치면 전체가 된다. 그래서 P(A)+P(Aᶜ)=1, 옮기면 P(Aᶜ)=1−P(A).
예시
동전 3개를 던져 '적어도 한 번 앞면'이 나올 확률: 여사건은 '모두 뒷면'으로 1/8. 따라서 1 − 1/8 = 7/8.
흔한 오해
여사건은 'A보다 작은 것'이 아니라 'A를 뺀 나머지 전부'다. '적어도 하나'의 반대는 '많아야 하나'가 아니라 '하나도 없음'이다.
어디에 쓰나
'적어도 ~', '최소 한 번' 유형은 거의 항상 여사건으로 푸는 게 빠르다. 여러 번 시도에서 실패·성공을 뒤집을 때 특히 강력하다.
어디서 왔나
일어남과 안 일어남을 합치면 1이라는 발상은, 확률을 '전체를 1로 두고 나눈 몫'으로 본 초기 확률론에서 자연스레 나왔다.
선행 개념
확인 문제
내일 비가 올 확률이 0.3이라면, 비가 오지 않을 확률은?
- 0.3
- 0.5
- 0.7✓
- 1
연습
어떤 사건이 일어날 확률이 0.25일 때, 일어나지 않을 확률은?
정답: 0.75
- P(일어남) = 0.25
- 1 − 0.25 = 0.75
핵심: 안 일어날 확률 = 1 − 일어날 확률.
주사위 한 개를 던져 1이 아닐 확률은?
정답: 3
- 1이 나올 확률 = 1/6
- 1 − 1/6 = 5/6
핵심: '아니다'는 여사건 — 1에서 빼라.
동전 2개를 던져 '적어도 한 번 앞면'이 나올 확률을 여사건으로 구하라.
정답: undefined
- 여사건 '모두 뒷면' = 1/4
- 1 − 1/4 = 3/4
핵심: '적어도 하나'는 반대편('하나도 없음')을 세는 게 빠르다.