조건부확률
“조건부확률은 '세상을 A로 좁힌 뒤' B를 다시 재는 것.”
수식
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)읽는 법: A가 일어났다는 조건에서 B가 일어날 확률은, A와 B가 함께 일어날 확률을 A의 확률로 나눈 것
- P(B|A)
- — A가 일어난 조건에서 B가 일어날 확률
- P(A∩B)
- — A와 B가 동시에 일어날 확률
- P(A)
- — 조건이 되는 사건 A의 확률
이야기의 시작
'비가 올 확률'과 '하늘이 흐릴 때 비가 올 확률'은 다르다 — 새 정보 하나가 확률을 통째로 바꾼다.
쉬운 말로
어떤 사건 A가 이미 일어났다고 알 때, 그 조건 아래에서 B가 일어날 확률. 세상을 A로 좁힌 뒤 B를 따진다.
직관
조건이 붙는 순간 '전체 경우'가 바뀐다. 원래 표본공간 대신 'A가 일어난 세계'만 남기고, 그 안에서 B의 비중을 다시 재는 것. 그래서 A∩B를 A로 나눈다 — 분모가 전체에서 A로 줄어든 것이다.
어떻게 만들어지나
분자는 A와 B가 함께 일어나는 부분 P(A∩B), 분모는 좁혀진 새 전체 P(A). 이 식을 뒤집으면 P(A∩B)=P(A)·P(B|A), 즉 '곱셈정리'가 되어 순차 사건의 확률을 이어 붙인다.
예시
주사위에서 A=짝수(2,4,6), B=4 이상(4,5,6). 짝수가 나왔단 조건에서 4 이상일 확률은? 짝수 3개 중 4 이상은 {4,6} 2개 → 2/3. 식으로도 (2/6)/(3/6)=2/3.
흔한 오해
P(B|A)와 P(A|B)는 다르다. '병에 걸렸을 때 양성일 확률'과 '양성일 때 병일 확률'을 뒤바꾸는 건 의학·재판에서 치명적 오류를 낳는다.
어디에 쓰나
의료 진단(검사 양성일 때 실제 질병 확률), 스팸 필터, 추천 알고리즘, 재판의 증거 해석 — '새 정보로 판단을 갱신하는' 모든 곳.
어디서 왔나
조건부확률을 뒤집어 원인의 확률을 추정하는 아이디어는 18세기 베이즈 목사의 정리로 이어져, 오늘날 인공지능 추론의 뼈대가 됐다.
선행 개념
확인 문제
P(A)=0.5, P(A∩B)=0.2 일 때 P(B|A) 는?
- 0.2
- 0.4✓
- 0.5
- 0.7
연습
P(A)=0.4, P(A∩B)=0.1 일 때 P(B|A) 를 구하라.
정답: 0.25
- P(B|A) = P(A∩B)/P(A) = 0.1/0.4
- = 0.25
핵심: 동시확률을 조건의 확률로 나눈다.
주사위에서 짝수가 나왔을 때, 그 수가 4 이상일 확률을 구하라.
정답: 0.667
- 짝수는 {2,4,6} 3개
- 그중 4 이상은 {4,6} 2개
- 2/3 ≈ 0.667
핵심: 조건이 표본공간을 짝수로 좁힌다.
P(A)=0.6, P(A∩B)=0.3 일 때 P(B|A) 를 구하라.
정답: 0.5
- 0.3 / 0.6
- = 0.5
핵심: 분모가 좁혀진 새 전체다.
조건부확률에서 분모가 P(A)인 이유를 한 줄로 설명하라.
정답: undefined
- A가 일어났다고 알았으니 전체가 A로 좁혀진다
- 이제 'A 안에서' B의 비중을 재야 한다
- 그래서 P(A)로 나눈다
핵심: 조건은 전체를 A로 바꾸는 렌즈다.