마르코프 연쇄 — 기억이 없는 이동
“마르코프 연쇄는 '지금 어디 있는지'만 알면 다음이 정해지는, 기억 없는 이동이다.”
수식
P(Xₙ₊₁ | X₀…Xₙ) = P(Xₙ₊₁ | Xₙ); πP = π읽는 법: 다음에 어디로 갈지는 오직 '지금 어디 있는가'에만 달렸고, 어떻게 왔는지 과거 경로는 무관하다
- Xₙ
- — n번째 단계의 상태(위치)
- P
- — 전이행렬 — 각 상태에서 다음 상태로 갈 확률 표
- π
- — 정상분포 — 오래 지나면 정착하는 상태별 비율
이야기의 시작
미래를 예측하는 데 과거 전부가 필요하진 않다 — 마르코프 연쇄는 '지금 어디 있느냐'만 알면 되는, 기억 없는 세계다.
쉬운 말로
상태들 사이를 확률적으로 옮겨 다니는 과정인데, 다음 상태의 확률이 오직 현재 상태에만 의존하고 그 이전 경로에는 전혀 의존하지 않는다. 이 '기억 없음(무기억성)'이 마르코프 성질이다.
직관
보드게임 말을 생각하자 — 다음 칸은 지금 칸과 주사위로만 정해지지, 여기까지 어떻게 왔는지는 상관없다. 날씨 모형이 대표적이다: '오늘 맑음/비'만 알면 내일 확률이 정해지고, 지난주 날씨는 잊어도 된다. 각 상태에서 다음으로 갈 확률을 표(전이행렬)로 적으면 전체가 완성된다.
어떻게 만들어지나
핵심 도구는 전이행렬 P — 행은 '지금 상태', 각 행의 성분은 다음 상태로 갈 확률이라 행의 합이 1이다. 현재 분포에 P를 곱하면 한 걸음 뒤 분포가 나온다. 오래 반복하면 더는 변하지 않는 정상분포 π에 정착하는데, πP = π를 푸는 것으로 구한다.
예시
날씨: 맑음→맑음 0.8, 맑음→비 0.2, 비→맑음 0.6, 비→비 0.4, 즉 P=[[0.8,0.2],[0.6,0.4]]. 정상분포 π=(s,r), s+r=1이 πP=π를 만족하려면 s=0.8s+0.6r → 0.2s=0.6r → s=3r. s+r=1과 합쳐 r=0.25, s=0.75. 장기적으로 맑은 날 75%, 비 오는 날 25%.
흔한 오해
'기억이 없다'가 '과거가 결과에 영향을 안 준다'는 뜻은 아니다 — 과거는 '현재 상태' 안에 이미 요약돼 있다. 다만 현재를 알면 그 이전의 세부 경로는 추가 정보가 되지 않을 뿐이다.
어디에 쓰나
구글 페이지랭크(웹서핑을 마르코프 연쇄로), 음성·문장 예측, 금융의 신용등급 전이, 유전자 서열 분석, 강화학습의 상태전이 — '지금 상태만으로 다음을 확률적으로 정하는' 모든 곳에 쓰인다.
어디서 왔나
1906년 안드레이 마르코프가 '독립이 아니어도 대수의 법칙이 성립하는가'를 따지다 도입했다. 러시아 시(푸시킨)의 자모 연쇄를 실제 예로 분석했다.
선행 개념
확인 문제
마르코프 연쇄에서 다음 상태의 확률은 무엇에 의존하는가?
- 지나온 모든 과거 상태
- 오직 현재 상태✓
- 최초 시작 상태만
- 아무것에도 의존하지 않음
연습
오늘 맑음이고 '맑음→비'로 갈 확률이 0.3 이다. 마르코프 연쇄에서 내일 비 올 확률은?
정답: 0.3
- 다음 상태는 오직 현재 상태(오늘 맑음)에만 의존
- 맑음→비 확률이 그대로 0.3
핵심: 한 걸음 예측은 현재 상태의 전이확률을 그대로 읽으면 된다.
전이행렬 P=[[0.5,0.5],[0.5,0.5]] 의 정상분포에서 상태 A의 비율을 구하라.
정답: 0.5
- 어느 상태에서 출발해도 다음은 A 0.5, B 0.5
- 완벽히 대칭이므로 정상분포는 (0.5, 0.5)
- 상태 A의 비율 = 0.5
핵심: 대칭 전이행렬의 정상분포는 균등 — 각 0.5.
P=[[0.8,0.2],[0.6,0.4]] 의 정상분포에서 상태 1(맑음)의 장기 비율 s 를 구하라.
정답: 0.75
- πP=π 에서 s = 0.8s + 0.6r
- 0.2s = 0.6r → s = 3r
- s + r = 1 → 3r + r = 1 → r = 0.25, s = 0.75
핵심: 정상분포는 πP=π 와 합이 1이라는 두 식을 함께 풀면 나온다.
'마르코프 연쇄는 기억이 없다'는 말이 '과거가 무의미하다'와 다른 이유를 노트에 설명해 보라.
정답: undefined
- 다음 확률은 현재 상태만 있으면 결정된다(무기억성)
- 하지만 현재 상태 자체가 과거의 결과로 만들어진 것
- 즉 과거는 '현재'라는 요약본 속에 이미 반영돼 있어, 현재를 알면 그 이전 세부는 잉여 정보
핵심: 무기억성 = '현재가 과거의 충분한 요약' — 과거가 무의미한 게 아니다.