정규분포
“정규분포는 68-95-99.7 — 평균에서 멀수록 급격히 드물어진다.”
수식
P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0.68읽는 법: 정규분포에서 평균 μ를 중심으로 표준편차 σ 하나 안쪽 범위에 약 68%의 자료가 들어간다
- μ
- — 평균 — 분포의 중심(봉우리 위치)
- σ
- — 표준편차 — 자료가 퍼진 정도(폭)
- 68%
- — 평균 ±1σ 안에 드는 자료의 비율
이야기의 시작
키, 시험 점수, 측정 오차 — 자연과 사회의 수많은 자료가 약속이나 한 듯 똑같은 '종 모양'으로 모인다. 그게 정규분포다.
쉬운 말로
평균을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양 분포. 평균 근처에 자료가 가장 많고, 멀어질수록 급격히 드물어진다.
직관
독립적인 작은 원인들이 우연히 겹쳐 쌓이면 결과가 종 모양으로 몰린다. 중심(평균 μ)이 봉우리, 퍼진 정도(표준편차 σ)가 종의 폭. σ가 작으면 뾰족하고 크면 펑퍼짐하다 — 위치는 μ, 넓이(퍼짐)는 σ가 정한다.
어떻게 만들어지나
핵심은 '68-95-99.7 법칙'이다. 평균 ±1σ 안에 약 68%, ±2σ 안에 약 95%, ±3σ 안에 약 99.7%가 들어간다. 이 세 숫자만 기억하면 정규분포의 대부분을 어림할 수 있다.
예시
평균 60점, 표준편차 10점인 시험. 50~70점(±1σ)에 약 68%, 40~80점(±2σ)에 약 95%의 학생이 몰린다.
흔한 오해
모든 자료가 정규분포는 아니다. 소득처럼 한쪽으로 길게 치우친 분포는 종 모양이 아니다. 또 ±2σ가 95%지, 100%가 아니다 — 바깥에도 5%는 있다.
어디에 쓰나
시험 점수의 상대평가(표준점수), 품질관리의 관리한계, 여론조사 오차범위, 금융 위험 측정 — 통계적 추론의 기본 자(尺).
어디서 왔나
측정 오차의 분포를 연구하던 가우스가 이 곡선을 정밀화해 '가우스 분포'라고도 불린다. 옛 독일 10마르크 지폐에 이 종 곡선이 그려져 있었다.
선행 개념
확인 문제
정규분포에서 평균 ±1 표준편차 안에 드는 자료의 비율은 약?
- 50%
- 68%✓
- 95%
- 99.7%
연습
정규분포에서 평균 ±2 표준편차 안에 드는 자료의 비율은 약 몇 %인가?
정답: 95
- 68-95-99.7 법칙에서 ±2σ
- 약 95%
핵심: ±1σ→68%, ±2σ→95%, ±3σ→99.7%.
평균 100, 표준편차 15인 정규분포에서 85~115 사이에 드는 비율은 약 몇 %인가?
정답: 68
- 85~115 는 100 ± 15, 즉 평균 ±1σ
- 약 68%
핵심: 구간이 ±1σ면 곧바로 68%.
평균 50, 표준편차 5인 정규분포에서 40~60 사이의 비율은 약 몇 %인가?
정답: 95
- 40~60 은 50 ± 10 = 평균 ±2σ
- 약 95%
핵심: 구간이 평균에서 몇 σ인지부터 따진다.
정규분포를 표준화하는 z=(x−μ)/σ 가 무엇을 뜻하는지 적어보라.
정답: undefined
- x가 평균에서 얼마나(μ를 뺌) 떨어졌는지를
- 표준편차 σ 단위로 나눠 잰 값
- z는 '평균에서 몇 σ만큼'을 나타낸다
핵심: 표준화는 서로 다른 분포를 같은 자로 비교한다.