산포도(분산과 표준편차)
“표준편차는 '평균에서 평균적으로 얼마나 벗어났나'다.”
수식
σ² = { (x₁−x̄)² + ⋯ + (xₙ−x̄)² } / n읽는 법: 각 자료가 평균에서 벗어난 정도(편차)를 제곱해 평균 낸 것이 분산이고, 그 제곱근이 표준편차
- xᵢ − x̄
- — 편차 — 자료값이 평균에서 떨어진 거리
- (xᵢ − x̄)²
- — 편차의 제곱 (부호를 없애 양수로)
- σ²
- — 분산 — 편차 제곱의 평균
- σ
- — 표준편차 — 분산의 (양의) 제곱근
이야기의 시작
평균이 같아도 자료가 '얼마나 흩어졌나'는 하늘과 땅 차이다 — 그 흩어짐을 재는 자가 분산과 표준편차다.
쉬운 말로
각 값이 평균에서 벗어난 거리(편차)를 제곱해 평균 낸 것이 분산, 그 제곱근이 표준편차다.
직관
평균은 과녁의 중심이고, 표준편차는 화살들이 중심에서 평균적으로 얼마나 벗어났는지다. 작으면 옹기종기 모였고, 크면 널찍이 퍼졌다.
어떻게 만들어지나
① 평균을 구하고 ② 각 편차(값−평균)를 구한다 ③ 편차는 그냥 더하면 0이 되므로 제곱해 부호를 없앤 뒤 평균 내면 분산 ④ 제곱하며 커진 단위를 되돌리려 제곱근을 씌우면 표준편차.
예시
자료 3, 4, 5, 6, 7 → 평균 5. 편차 −2, −1, 0, 1, 2, 제곱 4, 1, 0, 1, 4의 합 10. 분산 = 10/5 = 2, 표준편차 = √2 ≈ 1.41.
흔한 오해
편차를 그냥 더해 평균 내면 항상 0이라 흩어짐을 못 잰다 — 그래서 제곱한다. 또 분산은 단위가 제곱(예: 점²)이라, 원래 단위로 말하려면 표준편차를 쓴다.
어디에 쓰나
시험 점수의 고른 정도, 제품 품질의 안정성, 투자 위험(변동성)까지 — '평균만으론 안 보이는 안정성'을 잴 때 쓴다.
어디서 왔나
표준편차라는 이름과 기호는 19세기 말 칼 피어슨이 붙였고, 흩어짐을 하나의 수로 재는 이 도구는 근대 통계학의 기둥이 됐다.
선행 개념
확인 문제
어떤 자료의 분산이 9일 때, 표준편차는?
- 3✓
- 4.5
- 9
- 81
연습
자료 4, 4, 4, 4 의 분산은?
정답: 0
- 모든 값이 평균 4와 같다
- 편차가 모두 0 → 분산 0
핵심: 값이 모두 같으면 흩어짐이 없어 분산은 0.
자료 2, 4, 6, 8, 10 의 분산은?
정답: 8
- 평균 = 30/5 = 6
- 편차 −4, −2, 0, 2, 4, 제곱 16, 4, 0, 4, 16의 합 = 40
- 40 / 5 = 8
핵심: 평균 → 편차 → 제곱 → 평균, 순서대로 밟는다.
자료 1, 2, 3, 4, 5 의 분산과 표준편차를 구하라.
정답: undefined
- 평균 = 3
- 편차 −2, −1, 0, 1, 2, 제곱의 합 = 10
- 분산 = 10/5 = 2, 표준편차 = √2 ≈ 1.41
핵심: 표준편차는 분산에 제곱근을 씌워 단위를 되돌린 값.