중심극한정리
“중심극한정리: 충분히 많이 더하면 무엇이든 종 모양이 된다.”
수식
(x̄ₙ − μ) / (σ/√n) → N(0, 1) (n → ∞)읽는 법: 원래 분포가 무엇이든, 표본을 많이 모아 평균을 내면 그 평균들의 분포는 정규분포(종 모양)에 다가간다
- x̄ₙ
- — 크기 n 표본의 평균
- μ
- — 원래 분포의 평균
- σ/√n
- — 표본평균의 표준오차 — 흔들림의 크기
- N(0,1)
- — 표준정규분포(평균 0, 표준편차 1인 종 모양)
이야기의 시작
주사위 하나는 평평한데, 열 개를 더한 합은 종 모양이 된다. 세상이 온통 종 모양인 이유가 여기 있다.
쉬운 말로
중심극한정리는, 원래 분포의 모양이 무엇이든 — 평평하든 치우쳤든 — 독립적인 표본을 많이 모아 평균(또는 합)을 내면 그 평균들의 분포가 정규분포(종 모양)에 가까워진다는 정리다.
직관
작고 독립적인 무작위 효과가 잔뜩 더해지면, 극단(전부 크거나 전부 작음)은 드물고 가운데(밀고 당김이 상쇄됨)는 흔하다. 그래서 결과는 가운데가 봉긋한 종이 된다. 개개의 원인이 어떤 모양이든 상관없다 — 많이 더하는 순간 종이 나타난다. 키·측정오차·주사위 합이 죄다 종 모양인 까닭.
어떻게 만들어지나
두 조각 — 중심 μ와 퍼짐 σ/√n. 표본평균은 참평균 μ 주위에 몰리고(큰 수의 법칙), 그 몰림의 폭이 표준오차 σ/√n다. n이 커질수록 폭이 좁아지며 모양은 점점 매끈한 정규분포로 수렴한다. 정리는 '중심 위치'가 아니라 '분포의 모양'을 말한다.
예시
주사위 하나의 눈은 1~6이 고르게 나오는 평평한 분포(평균 3.5). 그런데 주사위 열 개를 굴려 합을 내면, 그 합은 35 부근에 봉긋 몰린 종 모양이 된다. 평평한 입력에서 종 모양 출력이 나온다.
흔한 오해
정리가 말하는 건 원자료(raw data)가 아니라 표본평균(또는 합)의 분포다. 원래 데이터는 얼마든지 치우쳐 있어도 된다 — 종 모양이 되는 건 '여러 개를 평균낸 값'의 분포이지 데이터 그 자체가 아니다.
어디에 쓰나
정규분포가 통계 어디에나 등장하는 근본 이유, 여론조사의 오차범위, 신뢰구간, 품질관리의 관리도, A/B 테스트, 측정오차 분석 — 표본으로 모집단을 추정하는 거의 모든 통계가 이 정리에 기댄다.
어디서 왔나
드무아브르가 1733년 동전 던지기에서 처음 발견하고, 라플라스가 일반화했으며, 20세기 초 랴푸노프·린드베르크가 엄밀히 증명했다. '중심(central)'은 '핵심적'이라는 뜻이다.
선행 개념
확인 문제
중심극한정리에 따르면, 독립인 많은 변수의 표본평균의 분포는 어떤 분포에 다가가는가?
- 균등분포(평평함)
- 정규분포(종 모양)✓
- 치우친 분포
- 이항분포
연습
표준편차 σ=10, 표본크기 n=100 일 때 표본평균의 표준오차 σ/√n 를 구하라.
정답: 1
- √n = √100 = 10
- σ/√n = 10/10 = 1
핵심: 표본이 커질수록 평균의 흔들림 σ/√n은 작아진다.
σ=20, n=4 일 때 표준오차 σ/√n 를 구하라.
정답: 10
- √n = √4 = 2
- σ/√n = 20/2 = 10
핵심: 표준오차는 √n에 반비례한다.
표본크기 n을 4배로 늘리면 표본평균의 표준오차는 몇 분의 1로 줄어드는가?
정답: 2
- 표준오차는 σ/√n
- n이 4배면 √n은 2배 → 오차는 1/2
핵심: 정밀도를 2배로 하려면 표본을 4배로.
왜 그렇게 많은 자연 현상(키, 측정오차 등)이 종 모양으로 나타나는지 중심극한정리로 설명하라.
정답: undefined
- 그런 값은 수많은 작고 독립적인 요인의 합인 경우가 많다
- 작은 효과들이 많이 더해지면 중심극한정리로 정규분포에 다가간다
- 그래서 원인이 무엇이든 결과가 종 모양이 된다
핵심: 많은 작은 원인의 합 → 종 모양. 그게 CLT의 메시지.