큰 수의 법칙
“큰 수의 법칙: 한 번은 운이지만, 여러 번의 평균은 법칙이다.”
수식
x̄ₙ = (X₁ + X₂ + ⋯ + Xₙ) / n → μ (n → ∞)읽는 법: 같은 실험을 아주 여러 번 반복해 얻은 값들의 평균은, 횟수가 커질수록 이론적 기댓값 μ에 다가간다
- Xᵢ
- — i번째 시행에서 나온 결과값
- x̄ₙ
- — n번 시행한 값들의 표본평균
- n
- — 시행 횟수 — 클수록 안정된다
- μ
- — 이론적 기댓값(참평균)
이야기의 시작
동전 열 번은 제멋대로여도, 만 번을 던지면 앞면 비율은 어김없이 0.5로 수렴한다 — 우연이 통계로 길들여진다.
쉬운 말로
큰 수의 법칙은, 같은 무작위 실험을 아주 여러 번 반복하면 그 결과들의 평균이 이론적 기댓값 μ에 점점 가까워진다는 법칙이다. 개별 결과는 예측 불가능해도, 평균은 예측 가능해진다.
직관
한 번의 우연은 요동친다. 하지만 우연을 수천 번 겹쳐 평균 내면, 위로 튄 것과 아래로 튄 것이 서로 상쇄되고 진짜 값만 남는다. 표본이 커질수록 개별 행운의 영향력은 1/n로 옅어진다 — 그래서 평균은 '운을 잊고' 기댓값으로 안착한다.
어떻게 만들어지나
두 조각 — 표본평균 x̄ₙ와 참평균 μ. 법칙은 이 둘의 차이가 n이 커질수록 0으로 간다고 말한다. 왜? 표본평균의 흔들림(표준편차)이 σ/√n로 줄어들기 때문. n이 100배면 흔들림은 10배 작아진다. 무한히 던지면 흔들림은 0, 평균은 μ에 못박힌다.
예시
공정한 동전 10번: 앞면이 7번(비율 0.7)일 수도 있다 — 흔한 일. 그러나 10,000번 던지면 앞면은 약 5,000번(비율 ≈ 0.500)에 몰린다. 주사위도 마찬가지 — 여러 번 굴린 눈의 평균은 (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5로 수렴한다.
흔한 오해
도박사의 오류를 조심하라. 앞면이 다섯 번 연속 나왔다고 해서 뒷면이 '나올 차례'가 되는 게 아니다. 각 던지기는 여전히 50:50이다. 비율이 0.5로 맞춰지는 건 과거를 '보상'해서가 아니라, 앞으로의 방대한 시행이 초기 편차를 '희석'하기 때문이다.
어디에 쓰나
보험(수많은 계약의 손해율은 예측 가능), 카지노의 하우스 엣지, 여론조사, 몬테카를로 시뮬레이션, 품질관리, 대수의 법칙에 기댄 모든 통계적 추정 — 개별은 못 맞혀도 집단은 맞히는 곳마다 쓰인다.
어디서 왔나
야코프 베르누이가 1713년 유고 『추측술』에서 증명하고 스스로 '황금 정리'라 불렀다. 우연에 숨은 질서를 처음으로 수학이 증명한 순간이다.
선행 개념
확인 문제
공정한 동전에서 앞면이 다섯 번 연속 나왔다. 다음에 앞면이 나올 확률은?
- 0.5보다 훨씬 작다
- 0.5✓
- 0.5보다 훨씬 크다
- 0
연습
공정한 주사위를 아주 여러 번 굴릴 때 나온 눈의 평균은 어떤 값에 수렴하는가?
정답: 3.5
- 기댓값 = (1+2+3+4+5+6)/6
- = 21/6 = 3.5
핵심: 표본평균은 기댓값 μ로 수렴한다.
공정한 동전을 아주 여러 번 던질 때 앞면이 나오는 비율은 어떤 값에 수렴하는가?
정답: 0.5
- 앞면 확률은 1/2
- 따라서 비율은 0.5로 수렴
핵심: 장기 비율 = 그 사건의 확률.
앞면이 네 번 연속 나온 뒤, 공정한 동전에서 다음이 앞면일 확률을 구하라.
정답: 0.5
- 각 던지기는 독립 — 과거와 무관
- 확률은 여전히 0.5
핵심: 도박사의 오류 — 동전은 기억이 없다.
개별 승부에선 큰 손님도 나오는데 카지노가 장기적으로 늘 이익을 보는 이유를 큰 수의 법칙으로 설명하라.
정답: undefined
- 각 게임에는 카지노에 유리한 작은 기댓값(하우스 엣지)이 있다
- 한 판은 요동쳐 손님이 크게 딸 수도 있다
- 판이 수백만 번 쌓이면 평균이 하우스 엣지로 수렴해 카지노가 이긴다
핵심: 작은 우위 × 큰 수 = 확실한 이익.