기댓값과 분산
“기댓값은 확률로 가중한 '장기 평균'이다.”
수식
E(X) = Σ xᵢ pᵢ읽는 법: 기댓값은 일어날 수 있는 각 값에 그 확률을 곱해 모두 더한, 장기적인 평균
- xᵢ
- — 일어날 수 있는 각 값(결과)
- pᵢ
- — 그 값이 나올 확률
- E(X)
- — 기댓값 — 확률로 가중한 평균
이야기의 시작
주사위를 굴리면 평균 몇이 나올까? 3.5 — 실제로는 나오지도 않는 값이 '기댓값'이다.
쉬운 말로
어떤 값이 나올지 확률로 알 때, 각 값에 그 확률을 곱해 다 더한 것. 수없이 반복하면 수렴하는 '장기 평균'이다.
직관
기댓값은 확률을 저울추로 삼은 무게중심이다. 자주 나오는 값(큰 p)에 무게를 더 실어 평균 낸 것. 그래서 한 번의 결과가 아니라 '길게 보면 평균적으로 얼마'를 알려준다. 분산은 그 평균에서 값들이 얼마나 흩어졌는지를 잰다.
어떻게 만들어지나
E(X)=Σ xᵢpᵢ 는 '값 × 확률'을 모두 더한 것. 분산 V(X)는 각 값이 평균에서 벗어난 정도를 제곱해 평균 낸 것으로, 퍼짐이 클수록 커진다. 표준편차는 분산에 루트를 씌워 원래 단위로 되돌린 값.
예시
공정한 주사위: E(X) = 1·(1/6)+2·(1/6)+…+6·(1/6) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5.
흔한 오해
기댓값이 '가장 자주 나오는 값'이나 '실제로 나오는 값'은 아니다. 주사위 기댓값 3.5는 눈금에 없다 — 어디까지나 '장기 평균'일 뿐이다.
어디에 쓰나
보험료·복권의 손익 계산, 투자 기대수익, 게임 설계의 밸런스, 의사결정의 기준 — '불확실한 결과의 평균적 값'을 재는 모든 곳.
어디서 왔나
기댓값 개념은 도박의 '공정한 판돈 나누기' 문제를 다루던 파스칼·페르마·하위헌스의 17세기 연구에서 탄생했다.
선행 개념
확인 문제
공정한 주사위 한 개의 기댓값은?
- 3
- 3.5✓
- 4
- 6
연습
앞면이면 1000원, 뒷면이면 0원을 받는 동전 게임의 기댓값을 구하라.
정답: 500
- E(X) = 1000·(1/2) + 0·(1/2)
- = 500 + 0 = 500
핵심: 기댓값 = Σ(값 × 확률).
X가 1, 2, 3 을 각각 확률 1/2, 1/4, 1/4 로 가질 때 E(X) 를 구하라.
정답: 1.75
- E(X) = 1·(1/2) + 2·(1/4) + 3·(1/4)
- = 0.5 + 0.5 + 0.75 = 1.75
핵심: 확률이 큰 값 쪽으로 평균이 당겨진다.
공정한 주사위의 기댓값을 직접 계산하라.
정답: 3.5
- (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6
- = 3.5
핵심: 확률이 모두 같으면 기댓값은 그냥 평균.
분산이 '자료의 퍼짐'을 재는 값인 이유를 한 줄로 적어보라.
정답: undefined
- 각 값이 평균에서 벗어난 거리를 제곱해 평균 낸다
- 멀리 흩어질수록 제곱 거리가 커진다
- 그래서 분산이 크면 자료가 넓게 퍼진 것
핵심: 분산은 '평균에서 얼마나 멀리 흩어졌나'다.