수와 연산conceptfoundations

무리수와 실수

“무리수는 분수로 못 쓰는, 끝없이 안 반복되는 수다.”

이야기의 시작

√2를 소수로 쓰면 1.41421356…, 끝도 없고 규칙도 없다 — 분수로는 절대 못 쓰는 수, 무리수의 등장이다.

쉬운 말로

분수(정수/정수)로 나타낼 수 있는 수가 유리수, 그럴 수 없는 수가 무리수. 둘을 합친 전체가 실수다.

직관

소수로 펼쳤을 때 딱 끝나거나(0.5), 같은 마디가 반복되면(0.333…) 유리수다. 끝나지도 반복되지도 않고 무한히 이어지면 무리수. √2, π, 원주율이 그렇다.

어떻게 만들어지나

실수는 두 종류로 나뉜다 — 유리수(분수로 쓸 수 있음)와 무리수(못 씀). 수직선 위의 모든 점이 실수 하나에 대응하고, 유리수 사이사이 빈틈을 무리수가 채운다.

예시

√2가 무리수인지 보자. 1.4²=1.96, 1.5²=2.25 이니 √2는 1.4와 1.5 사이. 아무리 자릿수를 늘려도 딱 떨어지지 않고, 분수로도 쓸 수 없음이 증명돼 있다.

흔한 오해

√ 가 붙었다고 다 무리수는 아니다. √9=3, √16=4는 완전제곱수라 유리수다. 무리수는 √2, √3처럼 딱 떨어지지 않는 근호에서 나온다.

어디에 쓰나

원의 둘레·넓이(π), 대각선 길이(√2), 자연의 성장(e) — 실제 도형과 자연을 정확히 재려면 무리수가 반드시 필요하다.

어디서 왔나

피타고라스 학파는 '모든 수는 분수'라 믿었는데, 히파소스가 √2가 그렇지 않음을 밝혀 학파를 뒤흔들었고 쫓겨났다는 전설이 전한다.

선행 개념

제곱근

확인 문제

다음 중 무리수인 것은?

0.5
1/3
√2✓
−4

연습

다음 중 무리수인 것을 고르시오.

정답: 2

풀이:

1.5 = 3/2, 2/7 은 분수 → 유리수
√4 = 2 → 유리수
√3 = 1.732… 는 딱 떨어지지 않음 → 무리수

핵심: 완전제곱이 아닌 근호가 무리수를 만든다.

다음 중 유리수인 것을 고르시오.

정답: 2

풀이:

√2, √5, π 는 끝없이 안 반복 → 무리수
√9 = 3 → 유리수

핵심: 근호 안이 완전제곱수면 유리수로 정리된다.

0.777… 은 유리수인가? 이유를 적어보라.

정답: undefined

풀이:

같은 숫자 7이 규칙적으로 반복된다(순환소수)
0.777… = 7/9 로 분수로 쓸 수 있다
→ 유리수

핵심: 반복되는 소수는 분수로 쓸 수 있어 유리수다.

√2 를 분수로 나타낼 수 없는(무리수인) 이유를 한 줄로 적어보라.