수와 연산conceptfoundations

순환소수

“순환소수는 분수가 입은 다른 옷이다.”

수식

0.ddd… = d/9, 0.abab… = ab/99

읽는 법: 한 자리가 반복되면 9로, 두 자리가 반복되면 99로 나눈 분수가 된다

0.ddd…: — 한 자리 d가 끝없이 반복되는 순환소수
d/9: — 반복 자리를 9로 나눈 분수
ab/99: — 두 자리 ab가 반복되면 99로 나눈다

이야기의 시작

1/3 = 0.333… 처럼 끝없이 이어지는 소수도, 사실은 깔끔한 분수의 다른 얼굴이다.

쉬운 말로

소수점 아래에서 같은 숫자 마디가 무한히 반복되는 소수. 반드시 분수로 되돌릴 수 있다.

직관

1을 3으로 나누면 나머지가 계속 같은 패턴으로 돌아 0.333…이 된다. 나머지의 종류는 유한하니 결국 반복될 수밖에 없다 — 그래서 분수는 항상 '끝나거나 순환하는' 소수가 된다.

어떻게 만들어지나

분수로 되돌리는 요령: x = 0.ddd… 라 두고 10배 해서 뺀다. 예로 x=0.333…이면 10x=3.333…, 10x−x=3, 9x=3, x=3/9=1/3. 반복 자리 수만큼 9를 붙이는 규칙이 여기서 나온다.

예시

0.777… 을 분수로. x=0.777…, 10x=7.777…, 빼면 9x=7, x=7/9. 실제로 7÷9=0.777… 이니 맞다.

흔한 오해

0.999… 는 1에 '가까운' 수가 아니라 정확히 1이다. x=0.999…면 10x−x=9, 9x=9, x=1. 서로 다른 표기일 뿐 같은 수다.

어디에 쓰나

분수↔소수 변환, 계산기에 뜬 소수의 정체 알아내기, 유리수가 왜 '끝나거나 순환하는 소수'인지 이해하는 열쇠.

어디서 왔나

분수를 소수로 나눠 보면 나머지가 순환한다는 사실은 오래전부터 알려졌고, 순환마디를 위에 점이나 선으로 표시하는 기호가 정착했다.

선행 개념

유리수의 사칙연산

확인 문제

0.555… 를 분수로 나타내면?

5/9✓
5/10
1/5
5/99

연습

0.888… 을 분수로 나타내면?

정답: 0

풀이:

한 자리 8이 반복 → 8을 9로 나눈다
0.888… = 8/9

핵심: 한 자리 순환소수는 그 숫자를 9로 나눈다.

0.121212… 를 분수로 나타내면?

정답: 0

풀이:

두 자리 12가 반복 → 99로 나눈다
0.121212… = 12/99

핵심: 두 자리 순환은 99로 나눈다(반복 자리 수만큼 9).

0.444… 를 분수로 나타내라.

정답: undefined

풀이:

x = 0.444… 로 두면 10x = 4.444…
10x − x = 4, 즉 9x = 4
x = 4/9

핵심: 10배 해서 빼면 순환 꼬리가 사라진다.

0.999… = 1 임을 계산으로 보여라.