이항분포
“이항분포 = (성공확률 pᵏ)×(실패확률)×(자리 경우의 수 ₙCₖ).”
수식
P(X=k) = ₙCₖ pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ읽는 법: 성공확률 p인 시행을 n번 할 때, 성공이 정확히 k번 나올 확률
- n
- — 독립 시행의 횟수
- p
- — 한 번 시행에서 성공할 확률
- k
- — 성공한 횟수 (0부터 n까지)
- ₙCₖ
- — n번 중 성공 k번의 자리 경우의 수
이야기의 시작
동전 10번 던져 앞면이 정확히 6번 나올 확률은? 성공·실패만 반복되는 상황이라면 공식 하나로 답이 나온다.
쉬운 말로
성공 확률이 p로 일정한 시행을 독립적으로 n번 할 때, 성공이 k번 일어날 확률의 분포다.
직관
세 조각을 곱하는 그림이다 — 성공 k번의 확률 pᵏ, 실패 n−k번의 확률 (1−p)ⁿ⁻ᵏ, 그리고 성공이 어느 순서에 오는지의 경우의 수 ₙCₖ. 순서를 무시하면 확률을 빠뜨리므로, 조합으로 자리 배치를 세어 곱해준다.
어떻게 만들어지나
한 특정 순서(예: 성공-성공-실패…)의 확률은 pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. 그런 순서가 ₙCₖ가지 있으니 다 더하면 계수 ₙCₖ가 붙는다. 이 분포의 평균은 np, 즉 '시행 횟수 × 성공확률'.
예시
동전 3번(p=1/2), 앞면이 2번 나올 확률: ₃C₂·(1/2)²·(1/2)¹ = 3·(1/8) = 3/8. 앞면 자리가 3가지라 계수 3.
흔한 오해
이항분포는 각 시행이 '독립'이고 성공확률 p가 '일정'할 때만 쓴다. 뽑고 다시 넣지 않는(비복원) 추출은 확률이 매번 바뀌므로 이항분포가 아니다.
어디에 쓰나
품질검사의 불량품 개수, 설문의 찬성자 수, 임상시험의 반응자 수, 스포츠의 승수 예측 — '성공/실패를 여러 번 반복'하는 모든 통계.
어디서 왔나
성공·실패를 반복하는 시행(베르누이 시행)의 이름은 17세기 야코프 베르누이에게서 왔고, 그의 '큰 수의 법칙'과 함께 확률론의 초석이 됐다.
선행 개념
확인 문제
동전을 2번 던져 앞면이 2번 나올 확률은? (p=1/2)
- 1/4✓
- 1/2
- 1/8
- 3/8
연습
동전 3번 던져 앞면이 정확히 2번 나올 확률을 소수로 구하라. (p=1/2)
정답: 0.375
- ₃C₂·(1/2)²·(1/2)¹ = 3·(1/8)
- = 3/8 = 0.375
핵심: 자리 경우의 수 ₃C₂=3 을 잊지 말 것.
n=5, p=0.5 인 이항분포의 평균 np 를 구하라.
정답: 2.5
- 평균 = np = 5·0.5
- = 2.5
핵심: 이항분포의 평균은 언제나 np.
주사위를 1번 던져 6이 나올(성공) 확률을 소수로 구하라. (n=1, p=1/6)
정답: 0.167
- ₁C₁·(1/6)¹·(5/6)⁰ = 1/6
- ≈ 0.167
핵심: n=1이면 이항분포는 한 번의 성공확률 그 자체.
P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=n)=1 이 되는 이유를 적어보라.
정답: undefined
- 성공 횟수는 0번부터 n번 중 반드시 하나
- 모든 경우를 빠짐없이 더한 것
- 전체 확률은 항상 1
핵심: 모든 가능한 결과의 확률 합은 1이다.