베이즈 정리
“증거의 정확도만 보지 말라 — '원래 얼마나 드문 일인가'가 답을 뒤집는다.”
수식
P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)읽는 법: 증거 B를 보고 난 뒤 A일 확률은, 원래 A일 확률에 'A일 때 B가 나올 가능성'을 곱해 전체 B의 확률로 나눈 것
- P(A|B)
- — 증거 B를 본 뒤 A일 확률(사후확률)
- P(A)
- — 증거 이전에 A일 확률(사전확률)
- P(B|A)
- — A일 때 증거 B가 나타날 가능도
- P(B)
- — 증거 B가 나타날 전체 확률
이야기의 시작
정확도 99%인 검사에서 양성이 나왔다. 그런데 실제로 병에 걸렸을 확률은 겨우 17%다 — 베이즈 정리가 그 이유를 설명한다.
쉬운 말로
베이즈 정리는 새 증거를 보고 믿음을 갱신하는 법칙이다. 증거 B를 보기 전 A일 확률(사전확률)에, 'A라면 B가 나올 가능도'를 곱하고 전체 B 확률로 나누면, B를 본 뒤 A일 확률(사후확률)이 나온다.
직관
핵심 직관은 '기저율(base rate)'이다. 병이 아주 드물면(1%), 인구의 99%인 건강한 사람들 중 5%만 오검출돼도 그 숫자가 진짜 환자보다 훨씬 많다. 그래서 양성이어도 대부분은 '건강한데 잘못 나온' 경우다. 검사의 정확도만 보지 말고 '원래 얼마나 드문가'를 함께 봐야 한다.
어떻게 만들어지나
세 조각으로 사후확률을 만든다: 사전확률 P(A)가 출발 믿음, 가능도 P(B|A)가 증거의 설득력, 분모 P(B)가 모든 경로를 통해 증거가 나올 총 확률. 분모는 보통 P(B|A)P(A) + P(B|¬A)P(¬A)로 펼쳐, '진짜 양성'과 '가짜 양성'을 모두 센다.
예시
병 유병률 P(D)=1%, 검사 민감도 P(+|D)=99%, 오양성률 P(+|건강)=5%. 양성일 때 실제 병일 확률은? P(+) = 0.99·0.01 + 0.05·0.99 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594. 따라서 P(D|+) = 0.0099/0.0594 ≈ 0.167, 즉 약 17%.
흔한 오해
P(A|B)와 P(B|A)를 같은 것으로 착각하는 게 최대 함정('검사의 오류'). '병이면 양성일 확률'과 '양성이면 병일 확률'은 전혀 다르다. 둘을 잇는 다리가 바로 베이즈 정리이고, 그 다리에는 사전확률이 반드시 끼어든다.
어디에 쓰나
스팸 필터, 의료 진단, 재판의 증거 평가, 기계학습(나이브 베이즈 분류기), 검색·추천, 과학 실험의 가설 검증 — 불확실한 증거로 믿음을 갱신하는 모든 곳에서 작동한다.
어디서 왔나
18세기 목사 토머스 베이즈가 유고로 남긴 아이디어를 라플라스가 발전시켰다. 오랫동안 논쟁의 대상이었다가, 오늘날 통계·인공지능의 핵심 틀이 됐다.
선행 개념
확인 문제
아주 드문 병에 대해 정확도 높은 검사가 양성이어도 실제 병일 확률이 낮은 까닭은?
- 검사가 고장났기 때문
- 건강한 다수에서 나오는 오양성이 많기 때문✓
- 검사 민감도가 낮기 때문
- 병의 유병률이 높기 때문
연습
P(A)=0.5, P(B|A)=0.8, P(B|¬A)=0.4 일 때 P(A|B) 를 구하라.
정답: 0.667
- P(B) = 0.5·0.8 + 0.5·0.4 = 0.4 + 0.2 = 0.6
- P(A|B) = 0.4 / 0.6 ≈ 0.667
핵심: 분모는 모든 경로의 증거 확률을 합친 값.
유병률 P(D)=0.01, 민감도 P(+|D)=0.99, 오양성 P(+|건강)=0.05. 양성일 때 병일 확률 P(D|+) 를 구하라.
정답: 0.167
- P(+) = 0.99·0.01 + 0.05·0.99 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594
- P(D|+) = 0.0099 / 0.0594 ≈ 0.167
핵심: 드문 병이면 양성이어도 확률이 낮다 — 기저율의 위력.
공장1이 전구의 60%(불량률 2%), 공장2가 40%(불량률 5%)를 만든다. 불량품이 공장1 제품일 확률을 구하라.
정답: 0.375
- P(불량) = 0.6·0.02 + 0.4·0.05 = 0.012 + 0.02 = 0.032
- P(공장1|불량) = 0.012 / 0.032 = 0.375
핵심: 역방향 확률은 각 경로의 기여를 비교하는 것.
친구가 '검사 정확도가 95%니 양성이면 95% 병이다'라고 한다. 왜 틀렸는지 노트에 설명하라.
정답: undefined
- P(양성|병)과 P(병|양성)을 혼동하고 있다
- 사전확률(유병률)을 무시했다 — 병이 드물면 답이 크게 낮아진다
- 두 조건부확률을 잇는 다리는 베이즈 정리이고 사전확률이 필요
핵심: 정확도 ≠ 사후확률. 사전확률 없이는 답할 수 없다.