복소수
“i는 '90° 회전'이고, 두 번 돌리면 −1이 된다.”
수식
i² = −1, z = a + bi읽는 법: 제곱하면 −1이 되는 수 i를 들여와, 실수부 a와 허수부 b로 이루어진 수 z
- i
- — 허수단위 — 제곱하면 −1이 되는 수
- a
- — 실수부 — z의 '실수' 부분
- bi
- — 허수부 — i에 실수 b를 곱한 부분
이야기의 시작
'제곱해서 음수가 되는 수는 없다'는 벽을, 수학자들은 그런 수를 아예 '만들어' 넘어버렸다 — 그게 허수 i다.
쉬운 말로
제곱하면 −1이 되는 새 수 i를 도입하면, 모든 수는 실수부 a와 허수부 bi를 합친 a+bi 꼴로 쓸 수 있다. 이걸 복소수라 한다.
직관
실수는 수직선(1차원) 위에 산다. 복소수는 여기에 '위쪽 방향' 축(허수축)을 하나 더 붙여 평면(2차원)으로 확장한 것. i를 곱하는 건 그 평면에서 점을 90° 회전시키는 것과 같다 — 그래서 i를 두 번 곱하면(180° 회전) 방향이 뒤집혀 −1이 된다.
어떻게 만들어지나
복소수 z=a+bi는 두 조각 — 실수부 a와 허수부 b. 덧셈은 실수부·허수부끼리 따로, 곱셈은 분배법칙을 쓰되 i²이 나오면 −1로 바꾼다. 이 한 규칙 i²=−1이 모든 계산을 굴린다.
예시
(2+i)(2−i) = 2² − (i)² = 4 − i² = 4 − (−1) = 4 + 1 = 5. 허수부가 사라지고 깔끔한 실수가 남는다.
흔한 오해
i는 '존재하지 않는 가짜 수'가 아니다. '허수(imaginary)'라는 이름이 오해를 부르지만, 복소수는 전자공학·양자역학에서 실제 물리량을 다루는 데 꼭 필요한 도구다.
어디에 쓰나
교류 전류와 신호 처리, 양자역학, 유체·전자기 시뮬레이션, 프랙탈 — 회전과 파동이 얽힌 계산에서 복소수가 위력을 발휘한다.
어디서 왔나
16세기 카르다노가 삼차방정식을 풀다 음수의 제곱근을 만났고, 오랫동안 '가상의 수'로 홀대받다 오일러·가우스를 거쳐 당당한 수가 됐다.
선행 개념
확인 문제
i² 의 값은?
- 1
- −1✓
- i
- −i
연습
(3 + 2i) + (1 + 4i) 의 실수부를 구하라.
정답: 4
- 실수부끼리 더한다: 3 + 1 = 4
- (허수부는 2+4=6i)
핵심: 복소수 덧셈은 실수부·허수부 따로.
i⁴ 의 값을 구하라.
정답: 1
- i⁴ = (i²)² = (−1)²
- = 1
핵심: i의 거듭제곱은 4마다 제자리로 돈다.
(2 + i)(2 − i) 의 값을 구하라.
정답: 5
- 합차 공식: 2² − i²
- = 4 − (−1) = 5
핵심: 켤레복소수의 곱은 실수가 된다.
i³ 을 구하고 그 과정을 적어보라.
정답: undefined
- i³ = i²·i
- = (−1)·i = −i
핵심: i²=−1 하나로 모든 i의 거듭제곱이 풀린다.