집합과 벤다이어그램
“합집합은 '더하고, 겹친 건 한 번 빼기'다.”
수식
n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)읽는 법: 두 집합을 합친 것의 원소 수는, 각각의 원소 수를 더한 뒤 겹치는 부분을 한 번 빼면 된다
- A∪B
- — 합집합 — A 또는 B에 속한 모든 원소
- A∩B
- — 교집합 — A와 B 양쪽에 다 속한 원소
- n(A)
- — 집합 A의 원소 개수
이야기의 시작
A와 B를 합쳐 개수를 셀 때 그냥 더하면 틀린다 — 겹친 부분을 두 번 세기 때문이다.
쉬운 말로
합집합의 원소 수는, 두 집합의 원소 수를 더한 다음 겹치는(교집합) 부분을 딱 한 번 빼면 된다.
직관
동그라미 두 개가 겹친 벤다이어그램을 떠올려라. 두 원을 그냥 더하면 가운데 겹친 부분을 두 번 센 셈이다. 그래서 한 번 빼줘야 진짜 '합친 것'이 된다.
어떻게 만들어지나
n(A)로 A 전체를, n(B)로 B 전체를 세면 교집합은 양쪽에서 한 번씩, 결국 두 번 세어진다. 딱 한 번만 남기려고 n(A∩B)를 빼는 것이다.
예시
반에서 축구를 좋아하는 학생 18명, 농구를 좋아하는 학생 12명, 둘 다 좋아하는 학생 5명이면, 적어도 하나를 좋아하는 학생은 18+12−5 = 25명이다.
흔한 오해
'둘 다'에 해당하는 사람을 빼먹거나 두 번 세기 쉽다. 겹친 부분은 더할 때 두 번 들어가므로 반드시 한 번 빼야 한다.
어디에 쓰나
설문 집계·데이터 분류·확률의 합의 법칙·검색 필터(AND/OR)까지, 겹치는 그룹의 수를 셀 때 어디서나 쓰인다.
어디서 왔나
'집합'을 수학의 기초 언어로 세운 것은 19세기 칸토어였고, 겹침을 원으로 그려 보여주는 다이어그램은 존 벤이 대중화했다.
확인 문제
n(A)=10, n(B)=7, n(A∩B)=3 일 때 n(A∪B)는?
- 14✓
- 17
- 20
- 3
연습
n(A)=8, n(B)=6, n(A∩B)=2 일 때 n(A∪B)를 구하라.
정답: 12
- 공식: n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)
- 8+6−2 = 12
핵심: 겹친 부분(교집합)을 한 번 빼는 걸 잊지 말 것.
어떤 반 30명 중 강아지를 기르는 학생 14명, 고양이를 기르는 학생 10명, 둘 다 기르는 학생 4명이다. 강아지나 고양이를 기르는 학생은 몇 명?
정답: 20
- '강아지나 고양이' = 합집합
- 14+10−4 = 20
핵심: '또는'은 합집합 — 겹친 '둘 다'를 한 번 빼면 된다.
n(A)=9, n(B)=5, n(A∪B)=11 일 때 교집합 n(A∩B)는?
정답: 3
- 공식을 뒤집는다: n(A∩B)=n(A)+n(B)−n(A∪B)
- 9+5−11 = 3
핵심: 같은 공식을 뒤집으면 교집합도 구할 수 있다.
40명 중 수학을 좋아하는 학생 22명, 영어를 좋아하는 학생 18명, 둘 다 좋아하는 학생 8명이다. 둘 다 안 좋아하는 학생은 몇 명인지 노트에 구해보라.
정답: undefined
- 적어도 하나 좋아함(합집합) = 22+18−8 = 32
- 둘 다 안 좋아함 = 전체 − 합집합 = 40 − 32 = 8
핵심: 전체에서 합집합을 빼면 '어느 것도 아닌' 바깥 영역이 나온다.