다각형의 내각과 외각
“다각형 내각 합은 '삼각형 몇 개로 쪼개지나'가 전부다.”
수식
(n − 2) × 180°읽는 법: n각형의 내각을 모두 더하면 (n−2)에 180°를 곱한 값이다
- n
- — 다각형의 변(또는 꼭짓점)의 개수
- n − 2
- — 다각형을 쪼갤 수 있는 삼각형의 개수
- 180°
- — 삼각형 하나의 내각의 합
이야기의 시작
다각형이 아무리 복잡해도, 그 안쪽 각을 다 더한 값은 변의 개수 하나로 정해진다.
쉬운 말로
n각형의 내각을 모두 더하면 (n−2) × 180°다. 그리고 볼록다각형의 외각을 모두 더하면 언제나 360°다.
직관
다각형을 한 꼭짓점에서 대각선으로 쭉 그어 삼각형으로 쪼개 보라. n각형은 (n−2)개의 삼각형으로 나뉜다. 각 삼각형의 내각 합이 180°이니, 전체 내각 합은 180°를 (n−2)번 더한 것이다.
어떻게 만들어지나
① 내각 합 = 삼각형 개수(n−2) × 180°. ② 외각은 각 꼭짓점에서 한 바퀴 방향을 튼 양이라, 다 더하면 정확히 한 바퀴 = 360°. 이 360°는 변의 개수와 무관하게 항상 같다.
예시
오각형(n=5)의 내각 합은 (5−2) × 180° = 3 × 180° = 540°. 정오각형이면 한 각이 540° ÷ 5 = 108°.
흔한 오해
외각의 합을 변마다 다를 거라 오해하기 쉽지만, 볼록다각형이면 몇 각형이든 외각 합은 항상 360°다. 또 (n−2)를 (n−1)이나 n으로 착각하기 쉽다.
어디에 쓰나
타일 깔기(테셀레이션), 축구공·건축의 각도 설계, 정다각형의 한 각 계산 등 각을 맞춰야 하는 모든 설계.
어디서 왔나
삼각형 내각 합이 180°라는 유클리드 기하의 기본 사실 위에, 다각형을 삼각형으로 쪼개는 아이디어를 얹어 얻은 결과다.
확인 문제
육각형(n=6)의 내각의 합은?
- 540°
- 720°✓
- 900°
- 1080°
연습
팔각형(n=8)의 내각의 합은 몇 도인가?
정답: 1080
- (n−2) × 180° = (8−2) × 180°
- 6 × 180° = 1080°
핵심: n을 공식에 넣기만 하면 된다 — 팔각형은 삼각형 6개 몫.
정오각형의 한 내각의 크기는 몇 도인가?
정답: 108
- 내각의 합: (5−2) × 180° = 540°
- 정오각형은 다섯 각이 모두 같음: 540° ÷ 5 = 108°
핵심: 정다각형은 내각 합을 변의 개수로 나누면 한 각이 나온다.
정십이각형의 한 외각의 크기는? 외각의 합이 항상 몇 도인지부터 노트에 적어보라.
정답: 30
- 볼록다각형의 외각의 합은 항상 360°
- 정십이각형은 외각이 모두 같음: 360° ÷ 12 = 30°
핵심: 외각은 내각보다 쉽다 — 합이 늘 360°라 개수로 나누면 끝.