원의 방정식
“원의 방정식은 '중심에서 거리가 r'을 피타고라스로 옮긴 것.”
수식
(x − a)² + (y − b)² = r²읽는 법: 중심 (a, b)에서 거리가 r로 일정한 점 (x, y) 전체가 원
- (a, b)
- — 원의 중심 좌표
- r
- — 반지름 — 중심에서 원까지의 거리
- (x, y)
- — 원 위의 임의의 점
이야기의 시작
원은 '한 점에서 똑같이 떨어진 점들의 모임'이다 — 그 한 문장을 좌표로 옮긴 게 원의 방정식이다.
쉬운 말로
중심 (a,b)에서 거리가 항상 r인 점 (x,y)들이 만드는 도형이 원. 그 조건을 식으로 쓴 것이 (x−a)²+(y−b)²=r².
직관
중심에서 어떤 점까지의 거리는 가로 차이 (x−a)와 세로 차이 (y−b)로 만든 직각삼각형의 빗변이다. 피타고라스로 그 빗변을 제곱하면 (x−a)²+(y−b)², 이게 r²과 같다는 게 '거리가 r'이라는 뜻.
어떻게 만들어지나
핵심은 중심 좌표와 반지름 딱 두 정보다. 중심이 원점 (0,0)이면 식은 x²+y²=r²로 간단해진다. 괄호 안 부호가 −a, −b임을 주의 — 중심이 (2,−3)이면 (x−2)²+(y+3)².
예시
중심 (0,0), 반지름 5인 원은 x²+y²=25. 점 (3,4)를 넣으면 9+16=25 → 참, 그래서 (3,4)는 이 원 위에 있다.
흔한 오해
(x−a)²+(y−b)²=r² 의 우변은 r이 아니라 r² 이다. 반지름 5인 원의 우변은 5가 아니라 25. 또 중심 부호는 식 안에서 반대로 나타난다.
어디에 쓰나
GPS 위치 찾기(여러 원의 교점), 레이더 범위, 충돌 판정, 컴퓨터 그래픽의 곡선 — '중심에서 일정 거리'가 필요한 모든 곳.
어디서 왔나
도형을 좌표와 방정식으로 다루는 해석기하는 데카르트가 열었다. '기하 문제를 계산으로 푼다'는 발상의 대표 사례가 원의 방정식이다.
선행 개념
확인 문제
중심 (0,0), 반지름 3인 원의 방정식은?
- x² + y² = 3
- x² + y² = 6
- x² + y² = 9✓
- (x−3)² + y² = 0
연습
중심 (1,2), 반지름 4인 원의 방정식에서 우변(r²)의 값은?
정답: 16
- 우변은 반지름의 제곱
- r² = 4² = 16
핵심: 우변은 r이 아니라 r²이다.
원 x²+y²=25 위의 점 (3, y) 에서 y>0 인 y 값을 구하라.
정답: 4
- 3² + y² = 25 → 9 + y² = 25
- y² = 16 → y = 4 (y>0)
핵심: 점을 대입해 원 위 여부와 좌표를 찾는다.
중심 (2,−3), 반지름 √5 인 원의 방정식 (x−2)²+(y+3)²=? 의 우변 값은?
정답: 5
- 우변 = r² = (√5)²
- = 5
핵심: 반지름이 무리수여도 r²은 깔끔해질 수 있다.
점 (0,0)과 (6,0)을 지름의 양 끝으로 하는 원의 중심과 반지름을 구하라.
정답: undefined
- 중심은 두 점의 중점: ((0+6)/2, 0) = (3,0)
- 반지름은 지름의 절반: 6/2 = 3
핵심: 지름의 중점이 중심, 지름의 절반이 반지름.