이산·논리conceptfoundations

명제와 참·거짓

“원명제와 대우는 진위가 붙어 다닌다 — 역은 아니다.”

수식

(p → q) ≡ (~q → ~p)

읽는 법: 'p이면 q이다'와 그 대우 '~q이면 ~p이다'는 언제나 참·거짓이 같다

p → q: — 'p이면 q이다' — 조건문(원명제)
~p: — p의 부정 — 'p가 아니다'
≡: — 두 명제의 참·거짓이 늘 같음

이야기의 시작

수학에서 '명제'는 느낌이나 의견이 아니다 — 참인지 거짓인지 딱 하나로 판가름 나는 문장만 명제다.

쉬운 말로

참·거짓을 분명히 가릴 수 있는 문장이 명제다. 'p이면 q이다' 같은 조건문은, 뒤집어 만든 대우와 늘 참·거짓이 같다.

직관

'비가 오면 땅이 젖는다'가 참이라면, 뒤집은 '땅이 안 젖었으면 비가 안 왔다'도 반드시 참이다. 같은 사실을 반대편에서 말한 것이라 진위가 붙어 다닌다.

어떻게 만들어지나

명제는 참·거짓 딱 두 값을 갖는다. 부정(~)은 그 값을 뒤집는다. 조건문 'p→q'에서 p와 q를 둘 다 부정하고 방향까지 바꾼 '~q→~p'가 대우인데, 원명제와 대우는 언제나 진위가 같다.

예시

'x=2이면 x²=4이다'는 참이다. 그 대우 'x²≠4이면 x≠2이다'도 참이다. 반면 역 'x²=4이면 x=2이다'는 x=−2라는 반례가 있어 거짓이다.

흔한 오해

원명제가 참이라고 그 역도 참인 건 아니다. 'x=2 → x²=4'는 참이지만 역 'x²=4 → x=2'는 거짓이다(x=−2). 참을 함께 보장하는 건 역이 아니라 대우다.

어디에 쓰나

수학의 모든 증명과 논리, 프로그램의 조건 판단(if), 법·계약 조항 해석까지 — '참인가 거짓인가'를 따지는 곳 어디서나.

어디서 왔나

명제를 참·거짓의 대상으로 엄밀히 다루는 논리학은 아리스토텔레스로 거슬러 오르고, 19세기 불(Boole)이 이를 대수처럼 계산 가능한 형태로 바꿨다.

선행 개념

집합과 벤다이어그램

확인 문제

다음 중 '명제'인 것은?

3은 짝수이다✓
이 그림은 아름답다
창문을 닫아라
x+1

연습

다음 중 참·거짓을 판별할 수 있는 '명제'는 어느 것인가?

정답: 0

풀이:

명제 = 참·거짓이 분명한 문장
'7은 소수이다'는 참인 명제다
의견·질문·단어는 참·거짓을 가릴 수 없어 명제가 아니다

핵심: 명제는 참/거짓을 가릴 수 있어야 한다 — 의견·명령·질문은 제외.

명제 '5는 3보다 크다'는 참인가 거짓인가? 그리고 그 부정을 노트에 써보라.

정답: undefined

풀이:

'5는 3보다 크다'는 참이다
부정: '5는 3보다 크지 않다' → 즉 '5 ≤ 3', 이건 거짓이다
부정은 원명제의 참·거짓을 뒤집는다

핵심: 부정은 참을 거짓으로, 거짓을 참으로 뒤집는다.

명제 '정삼각형이면 이등변삼각형이다'는 참이다. 다음 중 반드시 참인 것은?

정답: 1

풀이:

원명제가 참이면 그 대우도 반드시 참이다
대우: '이등변삼각형이 아니면 정삼각형이 아니다' → 참
역 '이등변삼각형이면 정삼각형이다'는 거짓일 수 있다

핵심: 원명제의 참을 함께 보장받는 건 대우뿐 — 역은 따로 따져야 한다.

'x²=9이면 x=3이다'는 참인가? 참이 아니라면 반례를 노트에 적어보라.