群：对称的语言
“群是一组可逆的操作——正是对称本身的语言。”
公式
(G, ∗): ① a∗b ∈ G ② (a∗b)∗c = a∗(b∗c) ③ a∗e = e∗a = a ④ a∗a⁻¹ = e怎么读: 一个集合 G 配上一种运算 ∗，如果满足封闭性、结合律、单位元和逆元，就构成一个群
- a∗b ∈ G
- — 两个元素结合后仍留在 G 内
- (a∗b)∗c = a∗(b∗c)
- — 运算的分组方式不影响结果
- a∗e = e∗a = a
- — 一个不改变其他元素的元素 e（如 0 或 1）
- a∗a⁻¹ = e
- — 能把 a 变回单位元的搭档
引子
整数加法、钟表算术、立方体旋转、魔方——这些截然不同的东西，共享着同一副骨架。这副骨架就是「群」。
通俗地说
群是一个集合加上一种运算，这种运算需要遵守四条规则：(1) 结果不会跑到集合外面（封闭性），(2) 分组方式不影响结果（结合律），(3) 存在一个什么都不做的单位元，(4) 每个元素都有一个能撤销自己的逆元。
直觉
群是对称的语言。想想一个正方形每次旋转 90° 的四种旋转——把它们中任意两个组合起来，结果还是这四种之一（封闭性），不旋转就是单位元，往反方向转就是逆元。这种「可逆操作的集合」就是一个群。任何让物体看起来保持不变的操作，都会构成一个群。
如何构建
这四条公理就是构成部件：封闭性给出「留在系统内」，单位元给出「一个参照点」，逆元给出「可以撤销」，结合律给出「串联操作时不必担心顺序」。这些极简的规则，撑起了一个出人意料地丰富的结构。注意：交换律（a∗b=b∗a）并不是必须的。
示例
整数在加法下 (ℤ,+)：两个整数相加还是整数（封闭性），0 是单位元，n 的逆元是 −n，结合律也成立——所以这是一个群。模 4 加法下的钟表算术 {0,1,2,3} 也是一个群：3+3=6≡2 仍留在集合内，每个元素都有搭档。
常见误区
群不一定满足交换律（a∗b=b∗a）。比如三维旋转、矩阵乘法、魔方的转动，交换顺序后结果都会不同——但它们依然是完全合格的群。
用在哪里
晶体的对称性（晶体学）、粒子的分类（标准模型）、纠错码与 RSA/椭圆曲线加密、解魔方、判断一个方程是否能用根式求解——凡是有对称和结构的地方，都藏着群。
从何而来
20 岁的伽罗瓦在 1830 年代发明了群，用以解释为什么五次及更高次方程无法用根式求解。他在一次决斗前夜潦草地写下了这套理论，第二天就去世了。
前置概念
小测验
在群 (ℤ,+) 中，元素 5 的逆元是什么？
- 5
- −5✓
- 0
- 1/5
练习
群 (ℤ,+) 的单位元是什么？（用数字回答）
答案: 0
- 单位元 e 满足 a+e=a
- a+0=a，所以 e=0
要点: 加法群的单位元是 0，乘法群的单位元是 1。
正方形的旋转 {0°, 90°, 180°, 270°} 在复合运算下构成一个群。它有多少个元素？
答案: 4
- 共有四种不同的旋转
- 所以阶数（元素个数）是 4
要点: 群的阶就是它的元素个数。
在群 Z₅（模 5 加法）中，求元素 2 的逆元。
答案: 3
- 找 x 使 2 + x ≡ 0（mod 5）
- 2 + 3 = 5 ≡ 0，所以逆元是 3
要点: 在模 n 加法中，a 的逆元是 n−a。
判断奇数在加法下是否构成一个群，并写出你的理由。
答案: undefined
- 奇数+奇数=偶数 → 结果跑到集合外面了（封闭性不成立）
- 单位元 0（偶数）也不在这个集合里
- 所以这不是一个群
要点: 只要违反一条公理就不是群——先检查封闭性。