数与运算
21 个概念
位值
一个数字的大小，取决于它所在的位置（数位）。
什么是分数
一个数，用来表示整体被切成了多少等份（分母），以及你拥有其中的几份（分子）。
什么是小数
在小数点右侧增加位数，用来书写比1还小的部分的一种数。
a/c ± b/c = (a ± b)/c分数的加法与减法
当每片大小相同（分母相同）时，只需要加减片数（分子）就行。
乘法与除法
乘法是把同一个数重复加很多次；除法是平均分配，或者数一数能分成几组。
a : b = a ÷ b比与比率
比是把两个量以'这个比那个'的方式比较；比率则通过做除法把它变成一个数。
p = (a ÷ b) × 100百分数
一个数字，表示把整体当作 100 时，部分占多少。符号 % 的意思是「每 100 中的多少」。
N = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ质因数分解
把一个数拆成只有质数的乘积——2、3、5、7 等等。
数轴上的整数
把正整数、0 和负整数按顺序排在一条直线上：越靠右越大，越靠左越小。
|a| = a (a ≥ 0), |a| = −a (a < 0)绝对值
一个数离0有多远。丢掉方向（符号），只保留距离。
(+)×(+)=(+), (−)×(−)=(+), (+)×(−)=(−)有理数的四则运算
整数和分数的加减乘除规则。关键是先确定符号，再计算大小。
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ指数法则
幂就是同一个数被乘了好几次。把它们相乘或相除，只需要把指数相加或相减。
√a = b ⇔ b² = a (a ≥ 0, b ≥ 0)平方根
如果某个数的平方等于 a，那个数就是 a 的平方根。√a 特指其中为 0 或正的那一个。
无理数与实数
能写成分数（整数/整数）的数是有理数，写不成的就是无理数。两者合在一起构成实数。
0.ddd… = d/9, 0.abab… = ab/99循环小数
小数点后同一组数字无限循环的小数。它总能被还原成分数。
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b最大公约数与最小公倍数
最大公约数是能同时整除两个数的最大数；最小公倍数是同时是两个数的倍数中最小的那个——也就是它们的倍数第一次重合的位置。
i² = −1, z = a + bi复数
引入一个新数i，它的平方是−1，这样每个数都可以写成a+bi，实部a加上虚部bi。这就是复数。
(G, ∗): ① a∗b ∈ G ② (a∗b)∗c = a∗(b∗c) ③ a∗e = e∗a = a ④ a∗a⁻¹ = e群：对称的语言
群是一个集合加上一种运算，这种运算需要遵守四条规则：(1) 结果不会跑到集合外面（封闭性），(2) 分组方式不影响结果（结合律），(3) 存在一个什么都不做的单位元，(4) 每个元素都有一个能撤销自己的逆元。
a ≡ b (mod n) ⟺ n | (a − b)模运算
模运算是每到某个数 n 就绕回 0 重新开始的运算。如果两个数除以 n 的余数相同，就称它们「同余」，记作 a ≡ b (mod n)。这里只关心余数。
e^(iθ) = cos θ + i sin θ, e^(iπ) + 1 = 0复平面与欧拉公式
把复数a+bi看成平面上的一个点（或箭头），就得到了复平面。欧拉公式e^(iθ)=cos θ+i sin θ说明复指数e^(iθ)就是单位圆上旋转了角度θ的那个点。简单说：虚数指数意味着旋转。
|ℕ| = |ℤ| = |ℚ| = ℵ₀ < |ℝ|可数无穷
如果一个无穷集合的元素可以编号为1,2,3,…且没有遗漏，它就是「可数无穷」的。自然数、整数、有理数都符合这个条件。但实数即便在原理上也无法这样编号——它们是更大的无穷。