数与运算conceptfoundations
平方根
“平方根就是把平方「还原」后的数。”
公式
√a = b ⇔ b² = a (a ≥ 0, b ≥ 0)怎么读: 平方等于 a 的非负数 b，就是平方根 √a
- √a
- — 平方等于 a 的非负数（正平方根）
- b² = a
- — 把 b 平方就能还原出原来的数 a
- √
- — 根号——表示「还原平方」的符号
引子
平方根就是把平方运算反过来做——它问的是「要平方得到这个数，原来的数是多少？」
通俗地说
如果某个数的平方等于 a，那个数就是 a 的平方根。√a 特指其中为 0 或正的那一个。
直觉
想象一个面积为 a 的正方形，它的边长正好是 √a。面积为 9 的正方形边长是 3，所以 √9 = 3。
如何构建
平方（□²）是正向操作，开根号（√□）则是把它还原。作为互逆运算，两者可以互相抵消：(√a)² = a，且 √(b²) = b（当 b≥0 时）。
示例
以 √9 为例。因为 3² = 9，所以 √9 = 3——这正好等于面积为 9 的正方形的边长。
常见误区
√9 是 3，不是 ±3。根号 √ 只指向非负的那个值。虽然有两个数的平方是 9（即 ±3），但符号 √9 只表示 3 这一个值。
用在哪里
用勾股定理求距离、求图形的边长、计算标准差，以及许多物理公式——凡是需要「还原平方」的地方都会用到。
从何而来
据说根号 √ 来自拉丁语 radix（「根」）首字母 r 的花体写法，带有「挖出数的根」的含义。
前置概念
小测验
√16 是多少？
- 2
- 4✓
- 8
- 256
练习
√36 是多少？
答案: 6
解答:
- 找出平方等于 36 的非负数
- 6² = 36 → √36 = 6
要点: 找出平方后等于该数的值。
√81 是多少？
答案: 9
解答:
- 9² = 81
- → √81 = 9
要点: 熟悉平方数，就能轻松看出平方根。
(√7)² 是多少？
答案: 7
解答:
- 平方与开平方互相抵消
- (√7)² = 7
要点: 对平方根再平方，会还原出根号内的数。
√10 位于哪两个整数之间？写出理由。
答案: undefined
解答:
- 3² = 9，4² = 16
- 9 < 10 < 16，所以 3 < √10 < 4
- √10 介于 3 和 4 之间（约为 3.16）
要点: 用最接近的完全平方数来估计平方根。