数与运算formulafoundations
指数法则
“相乘时指数相加，相除时指数相减。”
公式
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ怎么读: 同底数幂相乘，指数相加
- aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- — 同底数相乘 → 指数相加
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- — 幂的幂 → 指数相乘
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- — 同底数相除 → 指数相减
引子
指数法则看起来要背很多条，但其实只是一个想法——数重复相乘的次数。
通俗地说
幂就是同一个数被乘了好几次。把它们相乘或相除，只需要把指数相加或相减。
直觉
aᵐ 是 a 乘了 m 次，aⁿ 是 a 乘了 n 次。把它们相乘，a 总共被乘了 m+n 次，所以指数是 m+n。你只是在数「乘了多少次」，这就是指数相加的原因。
如何构建
三条法则涵盖了一切——相乘时指数相加（aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ），幂的幂时指数相乘（(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ），相除时指数相减（aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ）。
示例
把 2³ × 2² 完整写出来：(2×2×2) × (2×2) 就是 2 连乘五次。所以 2⁵ = 32，正好对应指数 3+2=5。
常见误区
很容易把 aᵐ · aⁿ 误当成 aᵐˣⁿ。相乘时指数是相加，只有在幂的幂（如 (aᵐ)ⁿ）时才是指数相乘。
用在哪里
表示极大或极小数字的科学计数法（10 的幂）、面积和体积、计算机内存的二进制大小（2¹⁰=1024）——每天都在用。
从何而来
幂的记号 aⁿ 由笛卡尔推广使用，指数法则后来自然地扩展到有理数、负数和实数指数。
前置概念
小测验
把 2³ × 2⁴ 写成一个幂。
- 2⁷✓
- 2¹²
- 2¹
- 4⁷
练习
计算 3² × 3³。
答案: 243
解答:
- 指数相加：3² × 3³ = 3⁵
- 3⁵ = 243
要点: 同底数相乘，指数相加。
计算 (2³)²。
答案: 64
解答:
- 指数相乘：(2³)² = 2⁶
- 2⁶ = 64
要点: 幂的幂，指数相乘。
计算 5⁴ ÷ 5²。
答案: 25
解答:
- 指数相减：5⁴ ÷ 5² = 5²
- 5² = 25
要点: 同底数相除，指数相减。
把 a⁵ · a³ 写成一个幂。
答案: undefined
解答:
- 同底数，所以指数相加
- 5 + 3 = 8
- a⁵ · a³ = a⁸
要点: 指数法则只在底数相同时才适用。