数与运算methodfoundations
有理数的四则运算
“先确定符号，再操心大小。”
公式
(+)×(+)=(+), (−)×(−)=(+), (+)×(−)=(−)怎么读: 同号相乘得正，异号相乘得负
- (+)×(+), (−)×(−)
- — 两个同号数相乘 → 得正
- (+)×(−), (−)×(+)
- — 两个异号数相乘 → 得负
- ÷
- — 除法遵循和乘法完全相同的符号规则
引子
有理数运算的八成难点只在一件事上——符号规则。为什么两个负数相乘会得到正数？
通俗地说
整数和分数的加减乘除规则。关键是先确定符号，再计算大小。
直觉
记住'相反的相反就是原来的'。乘以一个负数会让方向翻转——翻转两次就回到了起点（正数）。这就是为什么 (−)×(−)=(+)。
如何构建
对于 × 和 ÷，先确定符号：同号得正，异号得负。对于 + 和 −，记住'减去一个负数等于加上它'：a−(−b) = a+b。
示例
计算 (−2) × (−6) ÷ 4。符号：(−)×(−)=(+)。大小：2×6÷4 = 12÷4 = 3。所以答案是 +3。
常见误区
(−2)² 和 −2² 是不同的。(−2)²=(−2)×(−2)=4，但 −2² 是在 2² 前面加个负号，所以是 −4。括号决定了负号是否也被平方。
用在哪里
气温的升降、存款与取款、游戏分数的涨落——任何混合了增加和减少的现实计算，都是有理数运算。
从何而来
人们花了很长时间才接受负数是真实的数，但符号规则确立之后，方程和整个代数学才开始顺畅地运转。
前置概念
小测验
(−2) × 3 等于多少？
- −6✓
- 6
- −5
- 5
练习
计算 (−5) + (−3)。
答案: -8
解答:
- 同号相加：把大小相加，保留符号
- 5 + 3 = 8，符号是 −
- → −8
要点: 负数加负数，会走向更深的负数。
计算 (−7) − (−2)。
答案: -5
解答:
- 减去一个负数等于加上它：−7 − (−2) = −7 + 2
- = −5
要点: 减去一个负数会转化成加法。
计算 (−2) × (−6) ÷ 4。
答案: 3
解答:
- 符号：(−)×(−)=(+)
- 大小：2 × 6 ÷ 4 = 12 ÷ 4 = 3
- → +3
要点: 先确定符号，再计算大小。
计算 (−2)³，并写出为什么结果是负数。
答案: undefined
解答:
- (−2) × (−2) × (−2)
- = 4 × (−2) = −8
- 负数被乘了奇数次，结果仍是负数
要点: 负数出现偶数次结果为正，出现奇数次结果为负。