数学概念
一次一个公式——通俗的含义、直觉，以及它从何而来。
数与运算
21 个概念位值
一个数字的大小，取决于它所在的位置（数位）。
什么是分数
一个数，用来表示整体被切成了多少等份（分母），以及你拥有其中的几份（分子）。
什么是小数
在小数点右侧增加位数，用来书写比1还小的部分的一种数。
a/c ± b/c = (a ± b)/c分数的加法与减法
当每片大小相同（分母相同）时，只需要加减片数（分子）就行。
乘法与除法
乘法是把同一个数重复加很多次；除法是平均分配，或者数一数能分成几组。
a : b = a ÷ b比与比率
比是把两个量以'这个比那个'的方式比较；比率则通过做除法把它变成一个数。
p = (a ÷ b) × 100百分数
一个数字，表示把整体当作 100 时，部分占多少。符号 % 的意思是「每 100 中的多少」。
N = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ质因数分解
把一个数拆成只有质数的乘积——2、3、5、7 等等。
数轴上的整数
把正整数、0 和负整数按顺序排在一条直线上：越靠右越大，越靠左越小。
|a| = a (a ≥ 0), |a| = −a (a < 0)绝对值
一个数离0有多远。丢掉方向（符号），只保留距离。
(+)×(+)=(+), (−)×(−)=(+), (+)×(−)=(−)有理数的四则运算
整数和分数的加减乘除规则。关键是先确定符号，再计算大小。
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ指数法则
幂就是同一个数被乘了好几次。把它们相乘或相除，只需要把指数相加或相减。
√a = b ⇔ b² = a (a ≥ 0, b ≥ 0)平方根
如果某个数的平方等于 a，那个数就是 a 的平方根。√a 特指其中为 0 或正的那一个。
无理数与实数
能写成分数（整数/整数）的数是有理数，写不成的就是无理数。两者合在一起构成实数。
0.ddd… = d/9, 0.abab… = ab/99循环小数
小数点后同一组数字无限循环的小数。它总能被还原成分数。
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b最大公约数与最小公倍数
最大公约数是能同时整除两个数的最大数；最小公倍数是同时是两个数的倍数中最小的那个——也就是它们的倍数第一次重合的位置。
i² = −1, z = a + bi复数
引入一个新数i，它的平方是−1，这样每个数都可以写成a+bi，实部a加上虚部bi。这就是复数。
(G, ∗): ① a∗b ∈ G ② (a∗b)∗c = a∗(b∗c) ③ a∗e = e∗a = a ④ a∗a⁻¹ = e群：对称的语言
群是一个集合加上一种运算，这种运算需要遵守四条规则：(1) 结果不会跑到集合外面（封闭性），(2) 分组方式不影响结果（结合律），(3) 存在一个什么都不做的单位元，(4) 每个元素都有一个能撤销自己的逆元。
a ≡ b (mod n) ⟺ n | (a − b)模运算
模运算是每到某个数 n 就绕回 0 重新开始的运算。如果两个数除以 n 的余数相同，就称它们「同余」，记作 a ≡ b (mod n)。这里只关心余数。
e^(iθ) = cos θ + i sin θ, e^(iπ) + 1 = 0复平面与欧拉公式
把复数a+bi看成平面上的一个点（或箭头），就得到了复平面。欧拉公式e^(iθ)=cos θ+i sin θ说明复指数e^(iθ)就是单位圆上旋转了角度θ的那个点。简单说：虚数指数意味着旋转。
|ℕ| = |ℤ| = |ℚ| = ℵ₀ < |ℝ|可数无穷
如果一个无穷集合的元素可以编号为1,2,3,…且没有遗漏，它就是「可数无穷」的。自然数、整数、有理数都符合这个条件。但实数即便在原理上也无法这样编号——它们是更大的无穷。
代数
18 个概念2x + 3变量与代数式
「把某个数翻倍再加 3」，用字母 x 简洁地写成 2x+3。
ax + b = 0 → x = −b/a一元一次方程
只对某一个 x 值成立的等式。找出那个值，就是「解方程」的意思。
a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂二元一次方程组
找出同时满足两个方程的唯一一对 (x, y)。要把答案锁定在一个点上，需要两个方程。
ax + b > 0一元一次不等式
描述 x 比某个值大或小的陈述。答案不是一个数，而是一个「范围」。
y = ax + b一次函数与它的图像
一个规则：输入 x，输出 y = 「a 乘以 x 再加上 b」。画出图像，永远是一条直线。
(a + b)² = a² + 2ab + b²乘法公式
(a+b)² 不等于 a²+b²；中间还夹着一个 2ab，所以结果是 a²+2ab+b²。
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)因式分解
把像 x²+5x+6 这样的式子，变成「两个式子的乘积」，例如 (x+2)(x+3)。这正好是展开的逆过程。
ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)一元二次方程
含有 x² 的方程，形如 ax²+bx+c=0。它最多有两个解，把 a、b、c 代入求根公式总能求出这两个解。
y = a(x − p)² + q二次函数
y = a(x−p)² + q。图像是一条抛物线，顶点 (p, q) 就是它'最尖'的那一点（最高点或最低点）。
y = aˣ ⇔ x = logₐ y指数函数与对数函数
aˣ 是把 a 自乘 x 次；logₐ y 反过来问「要把 a 乘多少次才能到达 y？」。指数与对数互为逆运算。
aₙ = a₁ + (n−1)d, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹等差数列与等比数列
等差数列每次给前一项加上一个固定的数d；等比数列每次给前一项乘以一个固定的数r。
Σₖ₌₁ⁿ k = n(n+1)/2西格玛记号与数列求和
Σ 是一条指令：'从下限值开始，一直代入到上限值，然后全部相加'。Σₖ₌₁ⁿ k 就是从 1 加到 n 的和。
(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ bₖⱼ矩阵
矩阵把数字按行和列排列。要把两个矩阵相乘，就是把「左边的一行」和「右边的一列」配对，逐项相乘再相加。
(a + b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ二项式定理
展开(a+b)ⁿ时，每一项的系数是ₙCₖ——从n个括号中选出k个取b的方式数。
T(v) = Av, T(u+v) = T(u)+T(v), T(cu) = c·T(u)线性变换
线性变换移动平面（或空间）中的每一个点，同时保持网格线笔直、间距均匀，并让原点固定不动。这种井然有序的运动，可以完全由一个矩阵来描述。
Av = λv (v ≠ 0); det(A − λI) = 0特征值与特征向量
对空间施加变换A，大多数向量的方向都会被打乱。但某些特殊的向量v能保持方向不变，只会被一个因子λ缩放。这样的v叫做特征向量，因子λ就是它的特征值。
u, v ∈ V, a, b ∈ ℝ ⟹ a·u + b·v ∈ V向量空间
向量空间是这样一个集合：把其中的元素相加，或乘以一个实数，结果永远不会跑出这个集合。这两种运算只需遵守几条自然的规则。
det([[a, b], [c, d]]) = ad − bc行列式
2×2矩阵[[a,b],[c,d]]的行列式是ad − bc。这个数告诉你，这个矩阵把任意图形的面积缩放了多少倍。
几何
16 个概念角
从一点出发的两条线（边）之间张开的程度。我们用度（°）来测量这个张角。
▭ S = a × b △ S = c × h ÷ 2矩形与三角形的面积
一个形状覆盖的平面空间大小，用能容纳多少个单位正方形来计算。
▭ P = 2 × (a + b) ⬛ P = 4 × a周长
沿轮廓绕一圈的总长度——把所有边加起来即可。
V = a × b × c长方体的体积
一个立体图形占据的空间大小，用能装进多少个边长 1 厘米的小立方体来计量。
轴对称
沿一条直线（对称轴）对折后，两半正好完全重合的性质。
a² + b² = c²勾股定理
在直角三角形中，把两条较短的边分别平方后相加，正好等于斜边的平方。
△ABC ≅ △DEF全等三角形
两个三角形全等，意味着可以通过旋转或翻转让其中一个完全落在另一个上面。每一组对应边和对应角都相等。
a : a' = b : b' = c : c' = k相似
两个图形相似，是指所有对应角相等，并且所有对应边都是彼此的同一个倍数（k 倍）。
(n − 2) × 180°多边形的内角与外角
把 n 边形的内角加起来，等于 (n−2) × 180°。而凸多边形的外角和永远是 360°。
π r² × (θ / 360)圆的弧与扇形
扇形是圆的一部分。它的圆心角θ占一整圈（360°）的某个比例，它所占的面积（或周长）也是同样的比例。
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)坐标平面上的距离
求出两点之间的水平差和垂直差，它们会构成一个直角三角形；连接两点的线段就是它的斜边。所以距离是√(水平差² + 垂直差²)。
sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj三角比
在直角三角形中选定一个锐角 θ，各边之间的比值就只由这个角度决定，这些比值就是 sin、cos、tan。
sin²θ + cos²θ = 1三角函数
在半径为 1 的圆上，转过角度 θ 后，该点的纵向位置是 sinθ，横向位置是 cosθ。tanθ 就是两者的比值。
(x − a)² + (y − b)² = r²圆的方程
到圆心 (a,b) 距离始终为 r 的点 (x,y) 构成这个圆。把这个条件写成方程，就得到 (x−a)²+(y−b)²=r²。
|v| = √(x² + y²)向量
向量是一支同时带有大小和方向的箭头。横向移动 x、纵向移动 y，写作 (x,y)。
a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cosθ; |a×b| = |a||b|sinθ点积与叉积
点积a·b是一个衡量两个向量有多对齐的数。叉积a×b是一个新向量，垂直于这两个向量所张成的平面。
分析与微积分
21 个概念lim(n→∞) aₙ = L数列的极限
把项数 n 推向无穷大，如果数列的项不断逼近某一个确定的数 L，那么 L 就是这个数列的极限。
lim(x→a) f(x) = L极限
让 x 越来越接近某个值 a，观察函数正朝哪个数字靠拢。
lim(x→a) f(x) = f(a)连续性
如果趋近某点时预期的值（极限）恰好等于该点实际标出的值，曲线就毫无断裂地穿过这一点。
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h导数——瞬间的斜率
先取两点之间的斜率（升高÷跑动），再让这两点无限靠近，得到「单独一点上的斜率」。
d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹幂函数求导法则
xⁿ 的斜率函数是：把指数 n 乘到前面，再把指数降到 n−1。
(f·g)' = f'·g + f·g'乘积法则
要对两个函数的乘积求导，需分别对每个函数求导，再把两个结果相加。
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)链式法则
要对复合函数（函数中套函数）求导，把外层函数的导数乘以内层函数的导数。
f'(x) = 0临界点——斜率为零之处
令导数等于0并求解，得到的x就是切线变平的地方——极大值或极小值的候选点。
f''(x) > 0 ⇒ ∪ , f''(x) < 0 ⇒ ∩凹凸性与二阶导数
二阶导数f''是斜率的变化率。它的符号告诉你曲线是像碗一样弯（∪）还是像帽子一样弯（∩）。
∫ₐᵇ f(x) dx = lim Σ f(xᵢ)·Δx积分——累加面积
曲线下的面积，用许多非常窄的矩形填满，再把它们的面积加在一起。让宽度趋于 0，就得到精确的面积。
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)定积分
[a,b]区间上的面积，不是用黎曼和计算，而是通过找到一个原函数F，再求F(b)−F(a)。
d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x)微积分基本定理
对从 a 到 x 累积面积的函数求导，原来的函数 f(x) 就会重新冒出来。微分与积分是互逆的。
e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828自然常数e
取100%的利率，把它切分成越来越细的复利步骤，当步数趋于无穷时，结果会趋近于e ≈ 2.718。
ln x = y ⇔ eʸ = x自然对数
ln x 回答的是「e 要取多少次方才能得到 x」。换句话说，它是指数函数 eˣ 的反函数。
d/dx eˣ = eˣ推导指数函数的导数——eˣ 的斜率就是它自己
eˣ 的斜率函数就是 eˣ 本身。在任意一点，那里的高度恰好就是那里的斜率。
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x−a) + ½f''(a)(x−a)²泰勒近似——用多项式模拟曲线
在某一点附近，用一个简单的多项式来近似复杂的函数，让它们在该点的取值、斜率和弯曲程度都相同。
lim(x→a) f(x) = L ⟺ ∀ε>0, ∃δ>0 : 0 < |x−a| < δ ⟹ |f(x)−L| < ε极限的 ε–δ 定义
无论对方给出多小的误差 ε，只要你都能把输入区间 δ 缩小到让 f(x) 与 L 的差保持在 ε 以内，这个极限就是 L。
S = Σ(n=1..∞) aₙ = lim(N→∞) (a₁ + a₂ + ⋯ + a_N); Σ(n=0..∞) arⁿ = a/(1−r), |r|<1级数的收敛
无穷级数的'和'并不是真的一直加到最后。你先求出前 N 项的部分和；如果这个值随着 N 增大而趋近某个数 S，就说这个级数'收敛于 S'。
z = f(x, y) → ∂f/∂x, ∂f/∂y偏导数
对于两个或更多变量的函数，把你关心的那个变量以外的所有变量都固定住，再做普通的求导。
∬_R f(x, y) dA = ∫∫ f(x, y) dx dy重积分
把底面区域 R 切成许多小矩形，把每一小块的面积乘以该处函数的高度得到一根小柱子的体积，再把所有柱子加起来。
f(x) = a₀/2 + Σₙ (aₙ cos nx + bₙ sin nx)傅里叶级数
一个周期函数可以精确地写成一系列正弦和余弦的和，它们的频率是某个基频的整数倍。你只需要确定每种纯音混入了多少（系数 aₙ、bₙ）。
概率与统计
14 个概念N = m × n情况计数
不能同时发生的事情要用加法（加法法则）；先后依次发生的事情要用乘法（乘法法则）。
P(A) = a / n概率的含义
先数出等可能的结果，再取出你想要的那部分所占的份额。
P(Aᶜ) = 1 − P(A)对立事件
某件事不发生的概率，等于整体概率1减去它发生的概率。
x̄ = (x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ) / n集中趋势的度量
平均数是总和除以个数，中位数是按顺序排列后位于正中间的值，众数是出现次数最多的值。
σ² = { (x₁−x̄)² + ⋯ + (xₙ−x̄)² } / n离散程度：方差与标准差
每个数值与平均数之差的平方，取平均后得到方差；方差的平方根就是标准差。
ₙPᵣ = n!/(n−r)!, ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!)排列与组合
从 n 个物品中挑出 r 个：如果挑选的顺序有意义，就是排列（P）；如果只关心「谁被选中」，就是组合（C）。
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)条件概率
在事件A已经发生的前提下，B发生的概率。把「世界」缩小到A，再来衡量B。
P(X=k) = ₙCₖ pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ二项分布
这是在进行n次独立试验、每次成功概率相同为p时，得到k次成功的概率分布。
P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0.68正态分布
一种关于均值对称的钟形分布。数据在均值附近最密集，越往两边越迅速变稀疏。
E(X) = Σ xᵢ pᵢ期望值与方差
当你知道各个结果的概率时，期望值就是每个值乘以它的概率后相加。重复无数次，这就是事情最终收敛到的「长期平均值」。
P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)贝叶斯定理
贝叶斯定理是用新证据更新信念的规则。取看到B之前A的概率（先验），乘以A成立时B出现的可能性，再除以B出现的总概率，就得到看到B之后A的概率（后验）。
x̄ₙ = (X₁ + X₂ + ⋯ + Xₙ) / n → μ (n → ∞)大数定律
大数定律说的是：重复同一个随机实验很多次，结果的平均值会越来越接近理论期望值 μ。单次结果依然不可预测，但平均值变得可预测。
(x̄ₙ − μ) / (σ/√n) → N(0, 1) (n → ∞)中心极限定理
中心极限定理说的是：不管原始分布的形状如何——平坦或偏斜——只要收集足够多独立样本并计算它们的平均值（或总和），这些平均值的分布就会趋近于正态（钟形）分布。
P(Xₙ₊₁ | X₀…Xₙ) = P(Xₙ₊₁ | Xₙ); πP = π马尔可夫链
它是一个在各状态间随机跳转的过程，下一个状态的概率只取决于当前状态，与到达这里所走的路径完全无关。这种「无记忆性」就是马尔可夫性质。
离散与逻辑
4 个概念n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)集合与文氏图
并集的大小是两个集合的大小相加，再把重叠部分（交集）恰好减去一次。
(p → q) ≡ (~q → ~p)命题：真还是假
命题是一句可以清楚判断真假的话。像'若 p 则 q'这样的条件命题，永远和它的逆否命题共享同一个真假值。
G = (V, E), Σ(v∈V) deg(v) = 2|E|图论
图是由点（顶点）和连接它们的线（边）组成的集合。它只记录「谁和谁相连」，抛开了位置、形状和距离。这是一张被剥离到只剩骨架的关系地图。
[ P(1) ∧ ( P(k) ⟹ P(k+1) ) ] ⟹ ∀n ≥ 1, P(n)数学归纳法
数学归纳法用来证明「对每一个自然数 n」都成立的命题。（1）证明 n=1 时成立（基础步骤），（2）证明如果 n=k 时成立，那么 n=k+1 时也一定成立（归纳步骤）；就像多米诺骨牌，一旦推倒就全部倒下。