数与运算conceptintermediate
复数
“i是一次'90°旋转'，转两次就落在−1上。”
公式
i² = −1, z = a + bi怎么读: 引入一个平方为−1的数i，用实部a和虚部b构造出z
- i
- — 虚数单位——一个平方为−1的数
- a
- — 实部——z中'实'的那一部分
- bi
- — 虚部——一个实数b乘以i
引子
面对'没有数的平方是负数'这堵墙，数学家们干脆发明了一个能做到这一点的数——虚数单位i。
通俗地说
引入一个新数i，它的平方是−1，这样每个数都可以写成a+bi，实部a加上虚部bi。这就是复数。
直觉
实数生活在一维数轴上。复数增加了第二根轴（虚轴），铺展成一个二维平面。乘以i会让一个点在平面上旋转90°——所以乘以i两次（旋转180°）会翻转方向，落在−1上。
如何构建
复数z=a+bi有两部分——实部a和虚部b。加法时把实部和虚部分别相加；乘法用分配律展开，凡是出现i²就换成−1。这一条规则i²=−1驱动了每一次运算。
示例
(2+i)(2−i) = 2² − (i)² = 4 − i² = 4 − (−1) = 4 + 1 = 5。虚部消失了，剩下一个干净的实数。
常见误区
i不是'不存在的假想数'。'虚数'这个名字容易误导，但复数在电子学和量子力学中处理真实物理量时是不可或缺的工具。
用在哪里
交流电与信号处理、量子力学、流体与电磁仿真、分形——凡是旋转与波动交织的地方，复数都大放异彩。
从何而来
16世纪，卡尔达诺在求解三次方程时遇到了负数的平方根；这些数长期被斥为'虚构'，直到欧拉和高斯的工作才让它们成为正当的数。
前置概念
小测验
i²等于多少？
- 1
- −1✓
- i
- −i
练习
求(3 + 2i) + (1 + 4i)的实部。
答案: 4
解答:
- 把实部相加：3 + 1 = 4
- （虚部是2+4=6i）
要点: 复数相加时，实部和虚部要分别相加。
求i⁴的值。
答案: 1
解答:
- i⁴ = (i²)² = (−1)²
- = 1
要点: i的幂每4步循环一次。
求(2 + i)(2 − i)的值。
答案: 5
解答:
- 平方差公式：2² − i²
- = 4 − (−1) = 5
要点: 复数乘以它的共轭是实数。
求i³并写出计算步骤。
答案: undefined
解答:
- i³ = i²·i
- = (−1)·i = −i
要点: 一条规则i²=−1就能解决i的每一次幂运算。