一元二次方程
“二次方程的解，就是抛物线与 x 轴相遇的地方。”
公式
ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)怎么读: 把 a、b、c 代入求根公式，就能得到二次方程的两个根
- a, b, c
- — x²、x 和常数项的系数（a ≠ 0）
- b² − 4ac
- — 判别式——它决定根的个数
- ±
- — 同时给出两个根的正负号
引子
有些二次方程无法因式分解——而这时，求根公式就是永远管用的万能钥匙。
通俗地说
含有 x² 的方程，形如 ax²+bx+c=0。它最多有两个解，把 a、b、c 代入求根公式总能求出这两个解。
直觉
y=ax²+bx+c 的图像是一条抛物线。它与 x 轴相交处的 x 坐标正是方程的根——交两次得两个根，相切得一个根，不相交则没有实数根。
如何构建
如果能因式分解，就用'两个括号中必有一个为 0'快速求解。如果不能，就用求根公式。根号下的 b²−4ac（判别式）会告诉你根的个数——正数给出两个根，零给出一个根，负数则没有实数根。
示例
x²−2x−3=0 → (x−3)(x+1)=0 → x=3 或 x=−1，因为乘积为 0 时，必有一个括号为 0。
常见误区
'一个因式为 0 则乘积为 0'只有在另一边就是 0 时才成立——不能直接用在 (x−1)(x−2)=6 上（要先移项化为 0）。而如果判别式是负数，就没有（实数）解。
用在哪里
抛出物体的高度、固定面积下地块的边长、利润最大化的时刻——只要出现平方，二次方程就会登场。
从何而来
求根公式的根源可以追溯到古巴比伦的面积问题，完整的代数公式则是在多个文明的接力中逐渐打磨而成。
前置概念
小测验
x² − 5x + 6 = 0 的两个根是什么？
- 2 和 3✓
- −2 和 −3
- 1 和 6
- 2 和 −3
练习
求 x² − 4 = 0 的正根。
答案: 2
- x² = 4
- x = 2 或 x = −2
- 正根是 2
要点: x²=k 会给出 ±√k——两个符号都要保留。
求 x² − 7x + 10 = 0 的较大根。
答案: 5
- 两个数相乘为 +10、相加为 −7：−2 和 −5 → (x − 2)(x − 5) = 0
- x = 2 或 x = 5
- 较大的根是 5
要点: 能因式分解时，不用公式也能快速求解。
求 x² − 6x + 9 = 0 的根（一个重根）。
答案: 3
- (x − 3)² = 0
- x = 3（两个根重合）
要点: 完全平方式给出一个重根（判别式为 0）。
用求根公式解 x² + 2x − 1 = 0。
答案: undefined
- a=1，b=2，c=−1 → b²−4ac = 4 + 4 = 8
- x = (−2 ± √8)/2 = (−2 ± 2√2)/2
- x = −1 ± √2
要点: 无法因式分解时，公式总能求出答案。