代数methodfoundations

因式分解

“因式分解就是找两个数，「相乘得常数，相加得系数」。”

公式

x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

怎么读: 找两个数，它们相加等于一次项系数，相乘等于常数项

a + b: — x 的系数 = 两数之和
ab: — 常数项 = 两数之积
(x + a)(x + b): — 分解后的乘积形式

引子

因式分解就是把乘法公式反过来读——把展开的式子重新卷回「乘积」的形态。

通俗地说

把像 x²+5x+6 这样的式子，变成「两个式子的乘积」，例如 (x+2)(x+3)。这正好是展开的逆过程。

直觉

这就像是在还原一个面积为 x²+5x+6 的矩形的「宽和高」。找到两个相乘得常数 6、相加得中间系数 5 的数（2 和 3），就完成了。

如何构建

对于形如 x²+(a+b)x+ab 的式子，找到两个数 a、b，它们「相加得中间系数，相乘得常数项」。于是它就能分解成 (x+a)(x+b)。别忘了对好符号。

示例

x²+5x+6：相乘得 6、相加得 5 的两个数是 2 和 3 → (x+2)(x+3)。反过来展开，正好还是 x²+5x+6。

常见误区

符号很容易搞错——x²−5x+6 相乘得 +6、相加得 −5，所以是 −2 和 −3，即 (x−2)(x−3)。另外别忘了先提取公因式（比如 2x²+6x 中的 2x）。

用在哪里

解一元二次方程最快的途径，也是约分和化简复杂表达式的通用工具。

从何而来

把式子拆成「因式」延续了古老的把数拆成质因数的传统，只是把这个做法搬到了含字母的表达式上。

前置概念

乘法公式

小测验

分解 x² − 9。

(x + 3)(x − 3)✓
(x − 3)²
(x + 9)(x − 1)
(x + 3)²

练习

分解 x² + 7x + 12。

答案: 0

解答:

相乘得 12、相加得 7 的两个数：3 和 4
(x + 3)(x + 4)

要点: 乘积 = 常数项，和 = 一次项系数。

分解 x² − x − 6。

答案: undefined

解答:

相乘得 −6、相加得 −1 的两个数：−3 和 2
(x − 3)(x + 2)

要点: 常数项为负 → 这两个数一正一负。

分解 2x² + 6x。