代数formulafoundations
乘法公式
“(a+b)² 的秘密，就是夹在中间的那个 2ab。”
公式
(a + b)² = a² + 2ab + b²怎么读: 两数之和的平方，等于各自的平方再加上 2ab
- a, b
- — 相加的两个项
- 2ab
- — 容易被遗忘的中间项
- (a + b)²
- — 边长为 a+b 的正方形的面积
引子
不必每次都手动展开 (a+b)²——一张面积图就能把这个规律刻进你的脑子里。
通俗地说
(a+b)² 不等于 a²+b²；中间还夹着一个 2ab，所以结果是 a²+2ab+b²。
直觉
画一个边长为 a+b 的正方形，它会分成四块——一个 a² 的正方形、一个 b² 的正方形，还有「两个」a×b 的长方形。那两个长方形合起来正好就是 2ab。
如何构建
三个核心公式——(a+b)²=a²+2ab+b²，(a−b)²=a²−2ab+b²，以及 (a+b)(a−b)=a²−b²。前两个都有「中间的 2ab」；最后一个则没有中间项，只剩下平方差。
示例
(x+3)² = x² + 2·x·3 + 3² = x²+6x+9。中间的 6x 正是 2ab 那一项。
常见误区
(a+b)² ≠ a²+b²。忘记 2ab 是代数中最常见的失误。中间项永远存在。
用在哪里
它能把繁琐的乘法压缩成一行，加快心算速度——反过来读，它也是下一步「因式分解」的钥匙。
从何而来
这些关系出现在欧几里得《几何原本》第二卷中，以「分割面积」的几何定理形式呈现，并配有图形说明。
前置概念
小测验
展开 (x + 2)²。
- x² + 4x + 4✓
- x² + 4
- x² + 2x + 4
- x² + 4x + 2
练习
用乘法公式计算 102²。
答案: 10404
解答:
- 102² = (100 + 2)²
- = 100² + 2·100·2 + 2² = 10000 + 400 + 4
- = 10404
要点: (a+b)² 公式能让你心算出大数的平方。
用乘法公式计算 21 × 19。
答案: 399
解答:
- 21 × 19 = (20 + 1)(20 − 1)
- = 20² − 1² = 400 − 1
- = 399
要点: 「和」乘以「差」等于 a²−b²——中间项消失了。
展开 (x + 5)²。
答案: undefined
解答:
- (x+5)² = x² + 2·x·5 + 5²
- = x² + 10x + 25
要点: 别忘了中间项 10x（=2ab）。