西格玛记号与数列求和
“西格玛是一个单字母指令：'按顺序把它们全部加起来'。”
公式
Σₖ₌₁ⁿ k = n(n+1)/2怎么读: 把从 1 到 n 的每个整数相加，等于 n(n+1)/2
- Σ
- — 西格玛——表示'把它们全部加起来'的符号
- k
- — 运行变量（它依次取 1、2、3、……）
- n
- — 上限——求和进行到哪里为止
引子
你不必一个一个地把 1+2+3+…+100 加起来——西格玛记号加一个公式，一行就能搞定。
通俗地说
Σ 是一条指令：'从下限值开始，一直代入到上限值，然后全部相加'。Σₖ₌₁ⁿ k 就是从 1 加到 n 的和。
直觉
把 1 到 n 正着排一行、反着排一行；每一对相加都是 (n+1)。这样的对子共有 n 对，所以总和的两倍是 n(n+1)，得到总和 n(n+1)/2。这幅'重叠配对'的画面正是公式本身。
如何构建
Σ 下方的 k=1 是起点；上方的 n 是终点；后面的表达式是'要加的东西'。有三个常用求和式——Σk=n(n+1)/2，Σk²=n(n+1)(2n+1)/6，Σc=cn（常数被加了 n 次）。
示例
从 1 到 10：Σₖ₌₁¹⁰ k = 10·11/2 = 55。事实上 (1+10)+(2+9)+…= 11，五对相加也是 55。验证成立。
常见误区
Σ(k+1) 并不等于 Σk + 1。常数 1 也被加了 n 次，所以应该是 Σk + n。人们很容易忘记西格玛里的每一项都重复了 n 次。
用在哪里
均值与方差、等差与等比数列的求和、计算中的重复加法、积分的雏形（把面积切片再相加）——凡是需要'把许多东西加起来'的地方都会用到。
从何而来
求和符号 Σ 是希腊字母西格玛（'sum'的 S）；欧拉的广泛使用让它成为了标准记号。
前置概念
小测验
Σₖ₌₁⁵ k 等于多少？
- 10
- 15✓
- 25
- 30
练习
求 Σₖ₌₁¹⁰⁰ k，即从 1 加到 100 的和。
答案: 5050
- 公式 n(n+1)/2，n=100
- 100·101/2 = 10100/2 = 5050
要点: 高斯把首尾配对求和的技巧。
求 Σₖ₌₁⁴ 3（常数 3 被加了四次）。
答案: 12
- 常数求和：Σc = cn
- 3·4 = 12
要点: 常数每一项都会被加一次。
求 Σₖ₌₁⁵ k²，即 1²+2²+3²+4²+5²。
答案: 55
- 公式 n(n+1)(2n+1)/6，n=5
- 5·6·11/6 = 330/6 = 55
要点: 平方和有自己专门的公式。
求从 1 到 20 的和，Σₖ₌₁²⁰ k。
答案: undefined
- 代入 n=20
- 20·21/2 = 420/2 = 210
要点: 无论多少项，一个公式一步搞定。