等差数列与等比数列
“加法是等差（直线）；乘法是等比（曲线）。”
公式
aₙ = a₁ + (n−1)d, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹怎么读: 等差数列的一项是首项加上公差d累加(n−1)次；等比数列的一项是首项乘以公比r累乘(n−1)次
- a₁
- — 首项——数列开始的地方
- d
- — 公差——相邻两项之间恒定的差（等差数列）
- r
- — 公比——相邻两项之间恒定的倍数（等比数列）
- n
- — 项数（是第几项）
引子
每一步都加上同一个量，像爬楼梯一样→等差数列。每一步都乘以同一个倍数，像利息复利一样→等比数列。一条规则决定了整个数列。
通俗地说
等差数列每次给前一项加上一个固定的数d；等比数列每次给前一项乘以一个固定的数r。
直觉
等差数列以恒定的步幅前进——画出来是一条直线。等比数列每次以相同的倍数跳跃——画出来是一条指数曲线。规则是'加'还是'乘'，正是二者的分野。
如何构建
要到达第n项，正好要从首项走(n−1)步。等差数列每步加d → a₁+(n−1)d；等比数列每步乘r → a₁·rⁿ⁻¹。关键是(n−1)，不是n——首项就是走了零步。
示例
2, 5, 8, 11, …是公差d=3的等差数列。第4项 = 2 + (4−1)·3 = 2 + 9 = 11。而3, 6, 12, 24, …是公比r=2的等比数列。第4项 = 3·2³ = 24。
常见误区
常见的失误是直接把n代入指数。第4项的倍数因子是r³，不是r⁴——从首项开始只乘了三次。一定要检查(n−1)。
用在哪里
储蓄利息、人口增长、折旧（等比数列）；定期存款、座位排布（等差数列）——凡是数量按固定规律变化、需要预测未来的地方都用得上。
从何而来
少年高斯瞬间算出1加到100的故事，正是等差数列求和——首尾配对相加。
前置概念
小测验
在等差数列3, 7, 11, …中，第5项是多少？
- 15
- 17
- 19✓
- 23
练习
求等差数列2, 5, 8, ….的第10项。
答案: 29
- a₁=2，d=3
- a₁₀ = 2 + (10−1)·3 = 2 + 27 = 29
要点: 第n项是首项加上d累加(n−1)次。
求等比数列1, 2, 4, 8, ….的第7项。
答案: 64
- a₁=1，r=2
- a₇ = 1·2⁷⁻¹ = 2⁶ = 64
要点: 第n项的倍数因子是rⁿ⁻¹（不是r⁷）。
一个等差数列首项为5，公差为−2。求第6项。
答案: -5
- a₆ = 5 + (6−1)·(−2) = 5 − 10
- = −5
要点: 负公差会让数列递减。
求首项为2、公比为3的等比数列的第4项。
答案: undefined
- a₄ = 2·3⁴⁻¹ = 2·3³
- = 2·27 = 54
要点: 从首项开始只乘三次。