期望值与方差
“期望值是按概率加权的「长期平均值」。”
公式
E(X) = Σ xᵢ pᵢ怎么读: 期望值就是把每个可能的结果乘以它的概率再相加——长期来看的平均值
- xᵢ
- — 每个可能的取值（结果）
- pᵢ
- — 该取值出现的概率
- E(X)
- — 期望值——按概率加权的平均值
引子
掷一次骰子，平均点数是多少？3.5——一个永远不会真正出现的数，就是「期望值」。
通俗地说
当你知道各个结果的概率时，期望值就是每个值乘以它的概率后相加。重复无数次，这就是事情最终收敛到的「长期平均值」。
直觉
期望值是以概率为权重的质心。出现频率高（p 大）的值，会更用力地把平均值拉向自己。所以它告诉你的不是某一次的结果，而是「长期来看，平均是多少」。方差衡量的则是这些值围绕平均值散布的程度。
如何构建
E(X)=Σ xᵢpᵢ 把「值 × 概率」逐项相加。方差 V(X) 是每个值到均值的距离平方后取平均，散布越大方差越大。标准差是方差开根号，回到原来的单位。
示例
一枚均匀骰子：E(X) = 1·(1/6)+2·(1/6)+…+6·(1/6) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5。
常见误区
期望值既不是「出现最多的值」，也不是实际会出现的某个值。骰子的期望值 3.5 甚至不在任何一面上——它纯粹是一个「长期平均值」。
用在哪里
保险和彩票的定价、投资的预期收益、游戏设计的平衡性、决策判断标准——凡是要衡量「不确定结果的平均值」的地方都会用到。
从何而来
期望值的想法诞生于 17 世纪帕斯卡、费马和惠更斯为「公平」分配赌注所做的研究。
前置概念
小测验
一枚均匀骰子的期望值是多少？
- 3
- 3.5✓
- 4
- 6
练习
一个抛硬币游戏，正面得 1000 元，反面得 0 元。求期望值。
答案: 500
- E(X) = 1000·(1/2) + 0·(1/2)
- = 500 + 0 = 500
要点: 期望值 = Σ(值 × 概率)。
X 取值 1、2、3，概率分别为 1/2、1/4、1/4。求 E(X)。
答案: 1.75
- E(X) = 1·(1/2) + 2·(1/4) + 3·(1/4)
- = 0.5 + 0.5 + 0.75 = 1.75
要点: 平均值会被拉向概率更高的值。
直接计算一枚均匀骰子的期望值。
答案: 3.5
- (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6
- = 3.5
要点: 当概率相等时，期望值就是普通的平均数。
用一句话解释为什么方差衡量数据的「散布程度」。
答案: undefined
- 它是每个值到均值距离的平方后取平均
- 越分散，这些平方距离就越大
- 所以方差大就意味着数据分布得广
要点: 方差就是「数据离均值有多远」。