概率与统计conceptfoundations
集中趋势的度量
“有三把尺子可以测量中心：平均数、中位数、众数。”
公式
x̄ = (x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ) / n怎么读: 平均数就是把所有数据加起来，再除以数据的个数
- x₁ … xₙ
- — 每一个数据值
- n
- — 数据的个数
- x̄
- — 平均数（总和 ÷ 个数）
引子
用一个「代表值」来概括整组数据的方法不止一种——平均数、中位数、众数，各自在不同情况下派上用场。
通俗地说
平均数是总和除以个数，中位数是按顺序排列后位于正中间的值，众数是出现次数最多的值。
直觉
平均数是让数据在跷跷板上保持平衡的支点。中位数是把所有人排成一列后正好站在正中间的那个人，众数则是数值堆积最多的地方。三者指向的「中心」可能各不相同。
如何构建
平均数用到了每一个数值，所以容易被极端值拉偏。中位数只关心顺序，因此不受极端值影响。众数是最常出现的值，反映「多数趋势」。
示例
数据 2、3、3、7、10 → 平均数 = 25/5 = 5，中位数 = （把 2、3、3、7、10 排序后取正中间）3，众数 = 出现最多的 3。
常见误区
平均数并不总是「有代表性」。如果某人的工资特别高，平均数会被拉高，而大多数人的收入其实更低——这时中位数更能反映实际情况。
用在哪里
用一个数字概括成绩、收入、身高或播放量。对于像收入这类存在极端值的数据，最好再看看中位数，避免被误导。
从何而来
很久以前，平均数被用来在天文观测中「抵消」多次测量的误差；随着统计学的发展，中位数和众数也逐渐被明确定义。
前置概念
小测验
数据 4、6、6、8、11 的中位数是多少？
- 6✓
- 7
- 8
- 35
练习
数据 3、5、7、9、11 的平均数是多少？
答案: 7
解答:
- 总和 = 3+5+7+9+11 = 35
- 35 / 5 = 7
要点: 平均数 = 数据总和 ÷ 个数。
数据 2、3、5、8、8、10 的中位数是多少？（个数为偶数）
答案: 6.5
解答:
- 排序后正中间的两个数是 5 和 8
- (5 + 8) / 2 = 6.5
要点: 当个数为偶数时，中位数是正中间两个数的平均值。
对于数据 1、2、2、2、5、9，求出平均数、中位数、众数，并想一想哪个最能代表这组数据。
答案: undefined
解答:
- 平均数 = 21/6 = 3.5
- 中位数 = 正中间两个数（2、2）的平均值 = 2
- 众数 = 出现最多的 2
- 较大的数值 9 把平均数拉高了，所以中位数/众数（2）更具代表性
要点: 存在极端值时，中位数可能比平均数更能反映真实情况。